Номер 113, страница 36 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

113. Два пружинных маятника одинаковой массы вдоль горизонтальной оси совершают свободные гармонические колебания, амплитуды которых одинаковы. Частота колебаний одного из маятников на $\eta = 34 \, \%$ больше частоты колебаний другого. Во сколько раз различаются полные механические энергии маятников?

Дано:

$m_1 = m_2 = m$

$A_1 = A_2 = A$

$\eta = 34 \% = 0.34$

Пусть частота второго маятника больше: $\nu_2 = \nu_1 + \eta \cdot \nu_1 = (1 + \eta) \nu_1 = 1.34 \nu_1$

Найти:

$\frac{E_2}{E_1} - ?$

Решение:

Полная механическая энергия пружинного маятника, совершающего гармонические колебания, равна его максимальной потенциальной энергии и может быть вычислена по формуле:

$E = \frac{kA^2}{2}$

где $k$ – жесткость пружины, а $A$ – амплитуда колебаний.

Жесткость пружины $k$ связана с циклической частотой колебаний $\omega$ и массой маятника $m$ соотношением:

$\omega^2 = \frac{k}{m}$

Отсюда $k = m\omega^2$.

Циклическая частота $\omega$ связана с частотой колебаний $\nu$ формулой $\omega = 2\pi\nu$. Подставим это в выражение для жесткости:

$k = m(2\pi\nu)^2 = 4\pi^2m\nu^2$

Теперь подставим полученное выражение для жесткости $k$ в формулу для полной энергии:

$E = \frac{(4\pi^2m\nu^2)A^2}{2} = 2\pi^2m\nu^2A^2$

Запишем выражения для энергий первого и второго маятников:

$E_1 = 2\pi^2m_1\nu_1^2A_1^2$

$E_2 = 2\pi^2m_2\nu_2^2A_2^2$

Найдем отношение полных энергий маятников:

$\frac{E_2}{E_1} = \frac{2\pi^2m_2\nu_2^2A_2^2}{2\pi^2m_1\nu_1^2A_1^2}$

Согласно условию задачи, массы маятников одинаковы ($m_1=m_2$) и амплитуды их колебаний также одинаковы ($A_1=A_2$). Поэтому отношение энергий упрощается до отношения квадратов их частот:

$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\nu_2^2}{\nu_1^2} = \left(\frac{\nu_2}{\nu_1}\right)^2$

Из условия известно, что частота одного маятника на $\eta = 34\%$ больше частоты другого. Мы приняли, что $\nu_2 > \nu_1$. Тогда:

$\nu_2 = \nu_1 + 0.34\nu_1 = 1.34\nu_1$

Следовательно, отношение частот $\frac{\nu_2}{\nu_1} = 1.34$.

Подставим это значение в формулу для отношения энергий:

$\frac{E_2}{E_1} = (1.34)^2 = 1.7956$

Ответ: полные механические энергии маятников различаются в $1.7956$ раза.