Номер 111, страница 36 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

111. Небольшой груз, подвешенный на пружине жесткостью $k=3,2 \frac{\mathrm{Н}}{\mathrm{М}}$, совершает свободные гармонические колебания в вертикальном направлении. Определите амплитуду колебаний, если при прохождении положения равновесия кинетическая энергия груза $W_{\text{к}}=4,0 \text{ мДж}$.

Дано:

Жесткость пружины $k = 3,2 \frac{Н}{м}$
Кинетическая энергия груза при прохождении положения равновесия $W_{к} = 4,0 \text{ мДж} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Найти:

Амплитуда колебаний $A$ - ?

Решение:

Для системы, совершающей свободные гармонические колебания, выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $W$ системы "груз-пружина" является суммой кинетической энергии груза $W_{к}$ и потенциальной энергии упруго деформированной пружины $W_{п}$ и остается постоянной в любой момент времени.

$W = W_{к} + W_{п} = const$

В положении равновесия ($x = 0$) смещение груза равно нулю, следовательно, потенциальная энергия пружины также равна нулю ($W_{п} = 0$). В этой точке скорость груза максимальна, поэтому его кинетическая энергия достигает своего максимального значения $W_{к,max}$. Таким образом, полная энергия системы равна максимальной кинетической энергии.

$W = W_{к,max} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

В точках максимального отклонения от положения равновесия, то есть при смещении, равном амплитуде ($x = \pm A$), груз на мгновение останавливается, и его скорость становится равной нулю. Следовательно, кинетическая энергия в этих точках равна нулю ($W_{к} = 0$). Потенциальная энергия пружины в этот момент максимальна и определяется по формуле:

$W_{п,max} = \frac{k A^2}{2}$

Поскольку полная энергия сохраняется, максимальная кинетическая энергия (в положении равновесия) равна максимальной потенциальной энергии (в точках максимального отклонения).

$W_{к,max} = W_{п,max}$

Отсюда получаем равенство:

$W_{к} = \frac{k A^2}{2}$

Выразим из этой формулы амплитуду $A$:

$A^2 = \frac{2 W_{к}}{k}$

$A = \sqrt{\frac{2 W_{к}}{k}}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$A = \sqrt{\frac{2 \cdot 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{3,2 \frac{Н}{м}}} = \sqrt{\frac{8,0 \cdot 10^{-3}}{3,2}} \text{ м} = \sqrt{2,5 \cdot 10^{-3}} \text{ м} = \sqrt{0,0025} \text{ м} = 0,05 \text{ м}$

Ответ: амплитуда колебаний равна $0,05$ м.