Номер 107, страница 35 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

107. Шарик, имеющий массу $m$ и положительный заряд $q$, подвешен на невесомой непроводящей нити длиной $l$ в однородном электростатическом поле, линии напряженности которого направлены вертикально вверх. Определите период свободных малых колебаний шарика, если модуль напряженности электростатического поля равен $E$.

Дано:

Масса шарика: $m$

Положительный заряд шарика: $q$

Длина нити: $l$

Модуль напряженности электростатического поля: $E$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Период свободных малых колебаний шарика: $T$

Решение:

Шарик, подвешенный на нити, представляет собой математический маятник. На него действуют три силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $T_н$, направленная вдоль нити к точке подвеса, и электрическая сила со стороны однородного поля $F_э = qE$. Поскольку заряд шарика $q$ положительный, а поле направлено вертикально вверх, электрическая сила также направлена вертикально вверх.

Сила тяжести и электрическая сила действуют вдоль одной вертикальной прямой, но в противоположных направлениях. Их равнодействующая $F_{рез}$ будет направлена вертикально вниз и равна:

$F_{рез} = F_т - F_э = mg - qE$

Эта результирующая сила играет роль "эффективной" силы тяжести, действующей на шарик. Для того чтобы маятник мог совершать колебания, эта сила должна быть направлена вниз, то есть должно выполняться условие $mg > qE$.

Введем "эффективное" ускорение свободного падения $g_{эфф}$. По определению, $F_{рез} = m \cdot g_{эфф}$. Тогда:

$m \cdot g_{эфф} = mg - qE$

Отсюда:

$g_{эфф} = \frac{mg - qE}{m} = g - \frac{qE}{m}$

Период малых колебаний математического маятника определяется по формуле $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. В нашем случае вместо стандартного ускорения свободного падения $g$ следует использовать эффективное ускорение $g_{эфф}$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}}$

Подставим найденное выражение для $g_{эфф}$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g - \frac{qE}{m}}}$

Это выражение можно также представить в виде:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg - qE}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g - \frac{qE}{m}}}$