Номер 103, страница 34 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

103. Определите отношение периодов гармонических колебаний математических маятников равной длины на некоторой планете и на Земле, если масса планеты в $n = 9,0$ раза больше массы Земли, а ее радиус в $k = 2,0$ раза больше радиуса Земли.

Дано:

$l_п = l_З = l$ (длины маятников равны)
$M_п = n \cdot M_З$, где $n = 9,0$
$R_п = k \cdot R_З$, где $k = 2,0$

Найти:

$\frac{T_п}{T_З}$

Решение:

Период гармонических колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем формулы для периода колебаний маятника на некоторой планете ($T_п$) и на Земле ($T_З$):

$T_п = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_п}}$

$T_З = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}$

где $g_п$ и $g_З$ — ускорения свободного падения на планете и на Земле соответственно. Длина маятников $l$ по условию одинакова.

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_п}{T_З} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_п}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}} = \sqrt{\frac{l/g_п}{l/g_З}} = \sqrt{\frac{g_З}{g_п}}$

Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела определяется законом всемирного тяготения:

$g = \frac{GM}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус.

Выразим ускорение свободного падения на планете ($g_п$) через ускорение свободного падения на Земле ($g_З = \frac{GM_З}{R_З^2}$), используя данные из условия задачи ($M_п = n \cdot M_З$ и $R_п = k \cdot R_З$):

$g_п = \frac{GM_п}{R_п^2} = \frac{G(n \cdot M_З)}{(k \cdot R_З)^2} = \frac{n}{k^2} \cdot \frac{GM_З}{R_З^2} = \frac{n}{k^2} \cdot g_З$

Теперь подставим это выражение в формулу для отношения периодов:

$\frac{T_п}{T_З} = \sqrt{\frac{g_З}{g_п}} = \sqrt{\frac{g_З}{\frac{n}{k^2} \cdot g_З}} = \sqrt{\frac{k^2}{n}} = \frac{k}{\sqrt{n}}$

Подставим числовые значения $n = 9,0$ и $k = 2,0$:

$\frac{T_п}{T_З} = \frac{2,0}{\sqrt{9,0}} = \frac{2,0}{3,0} \approx 0,67$

Ответ: отношение периодов колебаний маятника на планете и на Земле составляет приблизительно 0,67.