Номер 98, страница 33 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

98. *Математический маятник массой $m = 40$ г и длиной $l = 0,8$ м совершает свободные гармонические колебания с амплитудой $x_{\text{max}} = 2$ см. Определите максимальную кинетическую энергию маятника.

Дано:

$m = 40 \text{ г} = 0.04 \text{ кг}$

$l = 0.8 \text{ м}$

$x_{max} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$E_{k,max}$

Решение:

При свободных гармонических колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия маятника $E$ постоянна и равна сумме его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p = const$

Кинетическая энергия маятника максимальна ($E_{k,max}$) в момент прохождения положения равновесия. В этой точке высота подъема маятника равна нулю, следовательно, его потенциальная энергия минимальна и принимается равной нулю ($E_p = 0$).

Потенциальная энергия маятника максимальна ($E_{p,max}$) в точках максимального отклонения от положения равновесия (в амплитудных точках). В этих точках скорость маятника равна нулю, а значит, и его кинетическая энергия равна нулю ($E_k = 0$).

Из закона сохранения энергии следует, что максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии:

$E_{k,max} = E_{p,max}$

Максимальная потенциальная энергия определяется максимальной высотой подъема маятника $h_{max}$ над положением равновесия:

$E_{p,max} = mgh_{max}$

Для математического маятника при малых колебаниях (когда амплитуда $x_{max}$ много меньше длины $l$) максимальную высоту подъема можно выразить через амплитуду и длину подвеса:

$h_{max} \approx \frac{x_{max}^2}{2l}$

Тогда максимальная кинетическая энергия равна:

$E_{k,max} = E_{p,max} = \frac{mgx_{max}^2}{2l}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$:

$E_{k,max} = \frac{0.04 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (0.02 \text{ м})^2}{2 \cdot 0.8 \text{ м}} = \frac{0.4 \cdot 0.0004}{1.6} \text{ Дж} = \frac{0.00016}{1.6} \text{ Дж} = 0.0001 \text{ Дж}$

Результат можно представить в стандартном виде: $E_{k,max} = 1 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

Ответ: $E_{k,max} = 1 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.