Номер 95, страница 32 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

95. *Математический маятник совершает свободные гармонические колебания с амплитудой $x_{\text{max}} = 45 \text{ мм}$. Определите модуль максимального ускорения маятника, если длина маятника $l = 90 \text{ см}$.

Рис. 23

Дано:

Амплитуда колебаний, $x_{max} = 45 \text{ мм}$

Длина маятника, $l = 90 \text{ см}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$x_{max} = 45 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.045 \text{ м}$

$l = 90 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.9 \text{ м}$

Найти:

$a_{max}$ — модуль максимального ускорения маятника.

Решение:

При гармонических колебаниях ускорение тела $a$ связано с его смещением $x$ от положения равновесия соотношением $a(t) = -\omega^2 x(t)$, где $\omega$ — циклическая (угловая) частота колебаний.

Модуль ускорения $|a(t)| = \omega^2 |x(t)|$ достигает своего максимального значения, когда смещение по модулю максимально, то есть равно амплитуде, $|x(t)| = x_{max}$.

Таким образом, формула для модуля максимального ускорения имеет вид:

$a_{max} = \omega^2 x_{max}$

Циклическая частота свободных колебаний математического маятника зависит от его длины $l$ и ускорения свободного падения $g$ и вычисляется по формуле:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Отсюда квадрат циклической частоты равен:

$\omega^2 = \frac{g}{l}$

Подставим выражение для $\omega^2$ в формулу для максимального ускорения:

$a_{max} = \frac{g}{l} \cdot x_{max}$

Теперь подставим числовые значения величин в системе СИ в полученную формулу:

$a_{max} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2}{0.9 \text{ м}} \cdot 0.045 \text{ м}$

Выполним расчеты:

$a_{max} = 9.8 \cdot \frac{0.045}{0.9} \text{ м/с}^2 = 9.8 \cdot 0.05 \text{ м/с}^2 = 0.49 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_{max} = 0.49 \text{ м/с}^2$.