Номер 94, страница 32 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

94. Два математических маятника совершают гармонические колебания вдоль оси $Ox$ с периодами $T_1 = 6,0 \, \text{с}$ и $T_2 = 5,0 \, \text{с}$. В некоторый момент времени их координаты $x$ были одинаковы и маятники двигались в одном направлении. Через какой минимальный промежуток времени координаты $x$ маятников и их направления скоростей соответственно снова совпадут?

Дано:

$T_1 = 6,0$ c

$T_2 = 5,0$ c

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Пусть в начальный момент времени $t=0$ координаты маятников были одинаковы, $x_1(0) = x_2(0)$, и они двигались в одном направлении, то есть знаки их скоростей совпадали: $\text{sgn}(v_1(0)) = \text{sgn}(v_2(0))$.

Требуется найти минимальный промежуток времени $\Delta t$, через который эти условия снова выполнятся, то есть $x_1(\Delta t) = x_2(\Delta t)$ и $\text{sgn}(v_1(\Delta t)) = \text{sgn}(v_2(\Delta t))$.

Задача не содержит информации об амплитудах и начальных фазах колебаний. Это означает, что решение не должно зависеть от этих параметров. Такой независимости можно достичь, если по истечении времени $\Delta t$ оба маятника вернутся в свое исходное состояние. В этом случае все условия, выполнявшиеся в начальный момент времени, будут выполняться снова.

Для того чтобы маятник вернулся в свое исходное состояние (то есть имел ту же координату и ту же скорость), он должен совершить целое число полных колебаний. Пусть за время $\Delta t$ первый маятник совершит $n_1$ полных колебаний, а второй — $n_2$ полных колебаний, где $n_1$ и $n_2$ — целые положительные числа.

Таким образом, искомый промежуток времени $\Delta t$ должен быть кратен периодам обоих маятников:

$\Delta t = n_1 T_1$

$\Delta t = n_2 T_2$

Отсюда следует, что $n_1 T_1 = n_2 T_2$. Мы ищем минимальный промежуток времени $\Delta t$, что соответствует поиску наименьших целых чисел $n_1$ и $n_2$, удовлетворяющих этому соотношению.

Выразим отношение $n_1$ к $n_2$:

$\frac{n_1}{n_2} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{5,0}{6,0} = \frac{5}{6}$

Наименьшие целые числа, удовлетворяющие этому отношению, — это $n_1 = 5$ и $n_2 = 6$.

Теперь можем найти минимальный промежуток времени $\Delta t$:

$\Delta t = n_1 T_1 = 5 \cdot 6,0 \text{ с} = 30$ с

Проверим по второму маятнику:

$\Delta t = n_2 T_2 = 6 \cdot 5,0 \text{ с} = 30$ с

Таким образом, через 30 секунд первый маятник совершит ровно 5 колебаний, а второй — ровно 6. Оба они вернутся в то же состояние, что и в начальный момент времени, а значит, их координаты и направления скоростей снова совпадут.

Ответ: 30 с.