Номер 97, страница 33 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

97. *Математический маятник массой $m = 500$ г и длиной $l = 1,5$ м совершает свободные гармонические колебания. Определите амплитуду колебаний, если модуль максимальной равнодействующей сил, приложенных к маятнику, $F_{\text{max}} = 0,16$ Н.

Дано:

$m = 500$ г

$l = 1.5$ м

$F_{max} = 0.16$ Н

$m = 500 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.5$ кг

Найти:

$A$ - ?

Решение:

Математический маятник совершает свободные гармонические колебания. Это означает, что колебания происходят при малых углах отклонения от положения равновесия. На маятник действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити.

Равнодействующая этих сил сообщает маятнику ускорение. Максимальное значение равнодействующей силы $F_{max}$ достигается в крайних точках траектории, то есть в точках максимального отклонения. В этих точках скорость маятника равна нулю, поэтому центростремительное ускорение отсутствует. Всё ускорение является тангенциальным (касательным), и оно максимально. Следовательно, равнодействующая сила в этот момент направлена по касательной к траектории и равна по модулю возвращающей силе.

Возвращающая сила $F_{возвр}$ для маятника — это тангенциальная составляющая силы тяжести:

$F_{возвр} = mg \sin\alpha$

где $\alpha$ — угол отклонения маятника от вертикали.

Максимальная возвращающая сила соответствует максимальному углу отклонения $\alpha_{max}$:

$F_{max} = mg \sin\alpha_{max}$

Так как колебания являются гармоническими, они происходят при малых углах. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливо приближение: $\sin\alpha_{max} \approx \alpha_{max}$.

Тогда выражение для максимальной силы принимает вид:

$F_{max} \approx mg \alpha_{max}$

Отсюда можно выразить максимальный угол отклонения (угловую амплитуду):

$\alpha_{max} \approx \frac{F_{max}}{mg}$

Амплитуда колебаний $A$ определяется как максимальное смещение тела от положения равновесия, измеренное вдоль дуги траектории. Она связана с угловой амплитудой и длиной маятника соотношением:

$A = l \alpha_{max}$

Подставим найденное выражение для $\alpha_{max}$:

$A = l \frac{F_{max}}{mg}$

Теперь выполним вычисления, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$A = 1.5 \text{ м} \cdot \frac{0.16 \text{ Н}}{0.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = 1.5 \cdot \frac{0.16}{4.9} \text{ м} \approx 0.04898 \text{ м}$

Округлив результат до двух значащих цифр (как в исходных данных $l$ и $F_{max}$), получаем:

$A \approx 0.049 \text{ м}$.

Ответ: $A \approx 0.049$ м.