Номер 100, страница 33 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

100. *После того как котенок (рис. 24) запрыгнул на неподвижную люстру, люстра с котенком начала колебаться с амплитудой $A = 20$ см и периодом $T = 1,5$ с. Определите проекцию скорости котенка на горизонтальную ось во время прыжка, если масса котенка в два раза меньше массы люстры. Котенка и люстру считайте материальными точками.

Рис. 24

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 20 \text{ см}$

Период колебаний, $T = 1,5 \text{ с}$

Масса котенка, $m_к$

Масса люстры, $m_л$

Соотношение масс: $m_к = \frac{1}{2} m_л$ или $m_л = 2m_к$

Перевод в СИ:
$A = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Проекцию скорости котенка на горизонтальную ось во время прыжка, $v_{кx}$ - ?

Решение:

Взаимодействие котенка и люстры при прыжке можно рассматривать как абсолютно неупругое столкновение. Поскольку внешние силы в горизонтальном направлении отсутствуют (силой сопротивления воздуха пренебрегаем), для системы «котенок + люстра» в этом направлении выполняется закон сохранения импульса.

Пусть $v_{кx}$ – искомая проекция скорости котенка на горизонтальную ось непосредственно перед тем, как он запрыгнул на люстру. Импульс котенка до взаимодействия $p_1 = m_к v_{кx}$. Люстра была неподвижна, поэтому ее импульс был равен нулю.

Импульс системы до взаимодействия в проекции на горизонтальную ось:

$P_{до, x} = m_к v_{кx}$

Сразу после прыжка котенок и люстра начинают двигаться вместе как единое целое с некоторой начальной скоростью $u_x$. Их общая масса равна $m_к + m_л$.

Импульс системы после взаимодействия:

$P_{после, x} = (m_к + m_л) u_x$

По закону сохранения импульса:

$P_{до, x} = P_{после, x}$

$m_к v_{кx} = (m_к + m_л) u_x$

Выразим отсюда скорость котенка $v_{кx}$:

$v_{кx} = \frac{m_к + m_л}{m_к} u_x$

Используя соотношение масс из условия, $m_л = 2m_к$, получаем:

$v_{кx} = \frac{m_к + 2m_к}{m_к} u_x = \frac{3m_к}{m_к} u_x = 3u_x$

После прыжка система «люстра + котенок» начинает совершать гармонические колебания. Прыжок происходит в положении равновесия системы. Скорость $u_x$, которую система приобретает сразу после прыжка, является максимальной скоростью $v_{max}$ в процессе этих колебаний.

$u_x = v_{max}$

Максимальная скорость при гармонических колебаниях связана с амплитудой $A$ и циклической (угловой) частотой $\omega$ по формуле:

$v_{max} = A \omega$

Циклическая частота $\omega$ выражается через период колебаний $T$:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим числовые значения и найдем $\omega$:

$\omega = \frac{2\pi}{1,5 \text{ с}} = \frac{4\pi}{3} \text{ рад/с}$

Теперь вычислим максимальную скорость колебаний $v_{max}$ (она же $u_x$):

$u_x = v_{max} = A \omega = 0,2 \text{ м} \cdot \frac{4\pi}{3} \text{ рад/с} = \frac{0,8\pi}{3} \text{ м/с}$

Наконец, найдем искомую проекцию скорости котенка:

$v_{кx} = 3u_x = 3 \cdot \frac{0,8\pi}{3} \text{ м/с} = 0,8\pi \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение, взяв $\pi \approx 3,14159$:

$v_{кx} \approx 0,8 \cdot 3,14159 \approx 2,513 \text{ м/с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью данных в условии задачи ($A = 20$ см, $T = 1,5$ с).

$v_{кx} \approx 2,5 \text{ м/с}$

Ответ: $v_{кx} \approx 2,5 \text{ м/с}$.