Номер 102, страница 34 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

102. Математический маятник длиной $l$ совершает свободные гармонические колебания вдоль вертикальной стены. Под точкой подвеса маятника на расстоянии $0,36l$ от нее в стену вбит гвоздь, ограничивающий движение нити маятника. Определите период колебаний такого маятника.

Дано:

Длина нити математического маятника: $l_1 = l$.
Расстояние от точки подвеса до гвоздя: $h = 0.36l$.

Найти:

Период колебаний маятника, $T - ?$.

Решение:

Колебание такого маятника не является простым гармоническим, а состоит из двух частей с разными периодами. Полный период $T$ будет равен сумме двух полупериодов.

Первый полупериод соответствует движению маятника, когда нить не касается гвоздя. Это происходит, когда маятник движется от одного крайнего положения до другого в одной половине колебания. Длина маятника в этом случае равна $l_1 = l$. Период таких колебаний был бы $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Время, за которое маятник проходит половину этого пути (от крайнего положения до положения равновесия), составляет четверть периода: $t_1 = \frac{T_1}{4}$.

Второй полупериод соответствует движению маятника, когда нить упирается в гвоздь. Это происходит, когда маятник проходит положение равновесия и движется в другую сторону. Новой точкой подвеса становится гвоздь. Эффективная длина маятника становится $l_2 = l_1 - h = l - 0.36l = 0.64l$. Период колебаний для этой части движения был бы $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.64l}{g}}$. Время, за которое маятник проходит эту часть пути (от положения равновесия до другого крайнего положения), также составляет четверть периода $T_2$: $t_2 = \frac{T_2}{4}$.

Полный период колебаний $T$ равен времени, за которое маятник совершает одно полное колебание (например, от правого крайнего положения до левого и обратно). Это время складывается из четырех четверть-периодов:

$T = t_1 + t_2 + t_2 + t_1 = 2t_1 + 2t_2 = 2(\frac{T_1}{4}) + 2(\frac{T_2}{4}) = \frac{T_1 + T_2}{2}$

Выразим $T_2$ через $T_1$:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{0.64l}{g}} = \sqrt{0.64} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 0.8 \cdot T_1$

Теперь подставим это выражение в формулу для полного периода $T$:

$T = \frac{T_1 + 0.8 T_1}{2} = \frac{1.8 T_1}{2} = 0.9 T_1$

Заменив $T_1$ его выражением, получим окончательную формулу:

$T = 0.9 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 1.8\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Ответ: $T = 1.8\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$