Номер 104, страница 34 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

104. Стальной шарик массой $m = 10$ г, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити, совершает над полюсом магнита свободные гармонические колебания с периодом $T_1 = 0,5$ с. Если убрать магнит, то период колебаний шарика станет $T_2 = 1,0$ с. Определите модуль силы притяжения шарика к магниту.

Дано

$m = 10 \text{ г}$

$T_1 = 0,5 \text{ с}$

$T_2 = 1,0 \text{ с}$

$m = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,01 \text{ кг}$

Найти:

$F_m$

Решение

Рассмотрим два случая колебаний шарика.

1. Когда магнит убран, шарик представляет собой математический маятник. Период его колебаний $T_2$ определяется длиной нити $L$ и ускорением свободного падения $g$:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

2. Когда под маятником находится магнит, на шарик, помимо силы тяжести $mg$ и силы натяжения нити, действует сила притяжения к магниту $F_m$, направленная вертикально вниз. Эта сила складывается с силой тяжести, создавая "эффективную" силу тяжести $mg_{eff} = mg + F_m$. Соответственно, "эффективное" ускорение свободного падения будет:

$g_{eff} = \frac{mg + F_m}{m} = g + \frac{F_m}{m}$

Период колебаний в этом случае $T_1$ будет равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g + \frac{F_m}{m}}}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ (1)

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g + \frac{F_m}{m}}}$ (2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{L}{g + \frac{F_m}{m}}}} = \sqrt{\frac{\frac{L}{g}}{\frac{L}{g + \frac{F_m}{m}}}} = \sqrt{\frac{g + \frac{F_m}{m}}{g}} = \sqrt{1 + \frac{F_m}{mg}}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = 1 + \frac{F_m}{mg}$

Выразим из этого уравнения искомую силу $F_m$:

$\frac{F_m}{mg} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 - 1$

$F_m = mg \left(\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 - 1\right)$

Подставим числовые значения. Примем $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

$F_m = 0,01 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \left(\left(\frac{1,0 \text{ с}}{0,5 \text{ с}}\right)^2 - 1\right) = 0,098 \text{ Н} \cdot (2^2 - 1) = 0,098 \text{ Н} \cdot (4 - 1) = 0,098 \text{ Н} \cdot 3 = 0,294 \text{ Н}$

Ответ: $0,294 \text{ Н}$.