Номер 105, страница 34 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

105. В неподвижном лифте находится маятник, период свободных гармонических колебаний которого $T_0 = 0,88 \text{ с}$. Определите период свободных колебаний этого маятника, если:

а) лифт будет двигаться с направленным вниз ускорением, модуль которого $a_1 = 3,6 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$;

б) лифт будет двигаться с направленным вверх ускорением, модуль которого $a_2 = 2,1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Дано:

$T_0 = 0,88$ c

$a_1 = 3,6 \frac{м}{с^2}$

$a_2 = 2,1 \frac{м}{с^2}$

$g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$

Найти:

$T_1$, $T_2$

Решение:

Период свободных гармонических колебаний математического маятника в неподвижном лифте (инерциальной системе отсчета) определяется по формуле:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Когда лифт движется с ускорением $\vec{a}$, маятник находится в неинерциальной системе отсчета. В этой системе на маятник действует сила инерции, и его колебания происходят под действием эффективного ускорения свободного падения $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$.

Период колебаний в лифте, движущемся с ускорением, будет равен:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$

Чтобы найти новый период, можно составить отношение:

$\frac{T}{T_0} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{g_{eff}}}$

Отсюда, $T = T_0 \sqrt{\frac{g}{g_{eff}}}$.

а) лифт будет двигаться с направленным вниз ускорением, модуль которого $a_1 = 3,6 \frac{м}{с^2}$

Ускорение лифта $\vec{a}_1$ направлено вниз, так же как и ускорение свободного падения $\vec{g}$. В этом случае модуль эффективного ускорения $g_{eff1}$ равен разности модулей $g$ и $a_1$ (состояние, близкое к невесомости):

$g_{eff1} = g - a_1$

Тогда период колебаний $T_1$ можно найти по формуле:

$T_1 = T_0 \sqrt{\frac{g}{g - a_1}}$

Подставим числовые значения:

$T_1 = 0,88 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{9,8 - 3,6}} = 0,88 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{6,2}} \approx 0,88 \cdot \sqrt{1,5806} \approx 0,88 \cdot 1,257 \approx 1,11$ c.

Ответ: $1,11$ с.

б) лифт будет двигаться с направленным вверх ускорением, модуль которого $a_2 = 2,1 \frac{м}{с^2}$

Ускорение лифта $\vec{a}_2$ направлено вверх, то есть противоположно направлению ускорения свободного падения $\vec{g}$. В этом случае модуль эффективного ускорения $g_{eff2}$ равен сумме модулей $g$ и $a_2$ (перегрузка):

$g_{eff2} = g + a_2$

Тогда период колебаний $T_2$ можно найти по формуле:

$T_2 = T_0 \sqrt{\frac{g}{g + a_2}}$

Подставим числовые значения:

$T_2 = 0,88 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{9,8 + 2,1}} = 0,88 \cdot \sqrt{\frac{9,8}{11,9}} \approx 0,88 \cdot \sqrt{0,8235} \approx 0,88 \cdot 0,9075 \approx 0,80$ c.

Ответ: $0,80$ с.