Номер 108, страница 35 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

108. Положительно заряженный шарик массой $m = 30 \text{ г}$, подвешенный на нерастяжимой нити над положительно заряженной горизонтальной плоскостью, совершал свободные гармонические колебания с периодом $T_0 = 2,0 \text{ с}$. Модуль силы, с которой электрическое поле действовало на шарик, $F = 0,10 \text{ Н}$. Затем шарик перезарядили так, что его заряд стал отрицательным, но модуль заряда остался прежним. Определите период колебаний шарика после перезарядки.

Дано

$m = 30$ г
$T_0 = 2,0$ c
$F = 0,10$ Н

Перевод в систему СИ:

$m = 0,030$ кг

Найти:

$T$ - ?

Решение

Колебания шарика на нити представляют собой колебания математического маятника. Период колебаний такого маятника определяется эффективным ускорением свободного падения $g_{eff}$.

В первом случае шарик заряжен положительно. Так как плоскость тоже заряжена положительно, электрическая сила $F$ является силой отталкивания и направлена вертикально вверх, против силы тяжести $mg$. Тогда равнодействующая сила, создающая "эффективную" силу тяжести, равна $mg - F$.

Эффективное ускорение свободного падения в этом случае:

$g_{eff_0} = \frac{mg - F}{m} = g - \frac{F}{m}$

Период колебаний $T_0$ связан с этим ускорением формулой:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff_0}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g - F/m}}$

где $l$ – длина нити.

Во втором случае шарик перезарядили, и его заряд стал отрицательным. Теперь электрическая сила $F$ является силой притяжения и направлена вертикально вниз, в ту же сторону, что и сила тяжести $mg$. Равнодействующая сила равна $mg + F$.

Новое эффективное ускорение свободного падения:

$g_{eff} = \frac{mg + F}{m} = g + \frac{F}{m}$

Новый период колебаний $T$ будет равен:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g + F/m}}$

Чтобы найти новый период $T$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T}{T_0} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g + F/m}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g - F/m}}} = \sqrt{\frac{g - F/m}{g + F/m}} = \sqrt{\frac{m(g - F/m)}{m(g + F/m)}} = \sqrt{\frac{mg - F}{mg + F}}$

Отсюда выразим искомый период $T$:

$T = T_0 \sqrt{\frac{mg - F}{mg + F}}$

Произведем вычисления, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Сила тяжести, действующая на шарик:

$mg = 0,030 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 0,30 \text{ Н}$

Подставим числовые значения в формулу для периода:

$T = 2,0 \text{ с} \cdot \sqrt{\frac{0,30 \text{ Н} - 0,10 \text{ Н}}{0,30 \text{ Н} + 0,10 \text{ Н}}} = 2,0 \cdot \sqrt{\frac{0,20}{0,40}} = 2,0 \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{2,0}{\sqrt{2}} \approx 1,414 \text{ с}$

С учетом точности исходных данных, округляем результат до двух значащих цифр.

Ответ: $T \approx 1,4$ с.