Номер 101, страница 33 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

101. *На тросе длиной $L = 10 \text{ м}$, закрепленном на стреле подъемного крана, неподвижно висит груз. Стрела крана начала двигаться в горизонтальном направлении с постоянной скоростью $v = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Определите:

a) амплитуду колебаний груза относительно стрелы;

б) модуль максимальной скорости груза относительно земли;

в) через какое минимальное время после начала движения модуль скорости груза относительно земли станет равен нулю.

Дано:

$L = 10 \ м$

$v = 1 \frac{м}{с}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) $A$ - ?

б) $v_{max\_g}$ - ?

в) $t_{min}$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение груза в системе отсчета, связанной со стрелой крана. Так как стрела движется с постоянной скоростью, эта система отсчета является инерциальной. В момент начала движения ($t=0$) стрела и точка подвеса троса мгновенно приобретают скорость $v$, а груз по инерции остается неподвижным относительно земли. Следовательно, в системе отсчета стрелы груз в начальный момент времени находится в положении равновесия (на вертикали) и имеет скорость, равную по модулю $v$ и направленную противоположно движению стрелы. Эти начальные условия вызывают колебания груза, который ведет себя как математический маятник.

а) амплитуду колебаний груза относительно стрелы;

В системе отсчета стрелы движение груза можно рассматривать как гармонические колебания (для малых углов отклонения). Максимальная скорость груза в этой системе отсчета достигается в положении равновесия (нижней точке траектории) и равна начальной скорости $v$. Максимальная скорость связана с амплитудой $A$ и циклической частотой $\omega$ соотношением $v = A\omega$.

Циклическая частота колебаний математического маятника определяется по формуле: $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$.

Отсюда можно выразить амплитуду колебаний:

$A = \frac{v}{\omega} = v \sqrt{\frac{L}{g}}$

Подставим числовые значения:

$A = 1 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{\frac{10 \ м}{10 \ м/с^2}} = 1 \ м$

Максимальный угол отклонения в радианах $\theta_{max} \approx \frac{A}{L} = \frac{1 \ м}{10 \ м} = 0.1$ рад, что составляет примерно 5.7°. Такой угол считается малым, поэтому использование формул для гармонических колебаний оправдано.

Ответ: амплитуда колебаний груза относительно стрелы равна 1 м.

б) модуль максимальной скорости груза относительно земли;

Скорость груза относительно земли $\vec{v_{г}}$ является векторной суммой скорости стрелы относительно земли $\vec{v_{с}}$ и скорости груза относительно стрелы $\vec{v_{г/с}}$:

$\vec{v_{г}} = \vec{v_{с}} + \vec{v_{г/с}}$

Скорость стрелы $\vec{v_{с}}$ постоянна и направлена горизонтально, ее модуль равен $v$. Скорость груза относительно стрелы $\vec{v_{г/с}}$ изменяется в процессе колебаний. Модуль скорости груза относительно земли будет максимальным, когда векторы $\vec{v_{с}}$ и $\vec{v_{г/с}}$ сонаправлены и скорость $\vec{v_{г/с}}$ имеет максимальное значение.

Максимальная скорость груза относительно стрелы достигается в нижней точке траектории и равна по модулю $v$. В этот момент скорость направлена горизонтально. Когда груз движется в ту же сторону, что и стрела, их скорости складываются:

$v_{max\_g} = v_{с} + v_{г/с\_max} = v + v = 2v$

Подставим числовые значения:

$v_{max\_g} = 2 \cdot 1 \frac{м}{с} = 2 \frac{м}{с}$

Ответ: модуль максимальной скорости груза относительно земли равен 2 м/с.

в) через какое минимальное время после начала движения модуль скорости груза относительно земли станет равен нулю.

Скорость груза относительно земли равна нулю, когда $\vec{v_{г}} = 0$. Из закона сложения скоростей это означает, что $\vec{v_{с}} + \vec{v_{г/с}} = 0$, или $\vec{v_{г/с}} = -\vec{v_{с}}$.

Это условие выполняется, когда скорость груза относительно стрелы направлена в сторону, противоположную движению стрелы, и равна ей по модулю, то есть $|\vec{v_{г/с}}| = v$. Скорость колеблющегося груза может быть направлена строго горизонтально только в нижней точке траектории. Таким образом, скорость груза относительно земли обращается в ноль, когда груз проходит положение равновесия, двигаясь в направлении, противоположном движению стрелы.

В начальный момент времени ($t=0$) груз как раз находится в этом состоянии: он в нижней точке, и его скорость относительно стрелы равна $-v$. Значит, его скорость относительно земли равна $v + (-v) = 0$.

Задача состоит в том, чтобы найти минимальное время *после начала движения*, когда это событие повторится. Груз вернется в то же самое состояние (положение равновесия, движение в обратную сторону) через один полный период колебаний $T$.

Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

Подставим числовые значения:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{10 \ м}{10 \ м/с^2}} = 2\pi \ с$

Следовательно, минимальное время, через которое скорость груза относительно земли снова станет равна нулю, равно периоду колебаний.

$t_{min} = T = 2\pi \ с \approx 6.28 \ с$

Ответ: через $2\pi$ с (приблизительно 6.28 с).