Номер 99, страница 33 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

99. *Шарик массой $m = 80 \text{ г}$, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити, совершает свободные гармонические колебания с амплитудой $x_{\text{max}} = 12 \text{ см}$. Определите длину нити, если модуль максимального импульса шарика

$p_{\text{max}} = 0,024 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$.

Дано:

$m = 80$ г = $0,08$ кг

$x_{max} = 12$ см = $0,12$ м

$p_{max} = 0,024 \frac{кг \cdot м}{с}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$

Найти:

$l$ - ?

Решение:

Шарик, подвешенный на нити, является математическим маятником, который совершает гармонические колебания. Максимальный импульс шарика $p_{max}$ связан с его массой $m$ и максимальной скоростью $v_{max}$ формулой:

$p_{max} = m \cdot v_{max}$

Из этой формулы выразим максимальную скорость, которую шарик достигает в положении равновесия:

$v_{max} = \frac{p_{max}}{m}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{max} = \frac{0,024 \frac{кг \cdot м}{с}}{0,08 \text{ кг}} = 0,3 \frac{м}{с}$

Для гармонических колебаний максимальная скорость $v_{max}$ связана с амплитудой колебаний $x_{max}$ и циклической (угловой) частотой $\omega$ следующим соотношением:

$v_{max} = \omega \cdot x_{max}$

Теперь мы можем определить циклическую частоту колебаний:

$\omega = \frac{v_{max}}{x_{max}}$

Подставим найденное значение максимальной скорости и данную амплитуду:

$\omega = \frac{0,3 \frac{м}{с}}{0,12 \text{ м}} = 2,5 \frac{рад}{с}$

Циклическая частота колебаний математического маятника определяется его длиной $l$ и ускорением свободного падения $g$ по формуле:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Чтобы найти длину нити $l$, возведем обе части уравнения в квадрат и выразим $l$:

$\omega^2 = \frac{g}{l}$

$l = \frac{g}{\omega^2}$

Подставим значение циклической частоты и ускорения свободного падения для нахождения длины нити:

$l = \frac{10 \frac{м}{с^2}}{(2,5 \frac{рад}{с})^2} = \frac{10 \frac{м}{с^2}}{6,25 \frac{1}{с^2}} = 1,6$ м

Ответ: длина нити равна $1,6$ м.