Номер 92, страница 31 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

92. При уменьшении длины математического маятника на $\Delta l = 6,9$ см циклическая частота его колебаний увеличи-лась в $n = 1,3$ раза. Определите период колебаний маят-ника с первоначальной длиной.

Дано:

$ \Delta l = 6,9 \text{ см} $

$ n = 1,3 $

$ \Delta l = 0,069 \text{ м} $

Найти:

$ T_1 $

Решение:

Циклическая (угловая) частота $ \omega $ и период $ T $ колебаний математического маятника определяются его длиной $ l $ по формулам:

$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $

$ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $

где $ g $ — ускорение свободного падения (примем $ g \approx 9,8 \text{ м/с}^2 $).

Обозначим начальные параметры маятника (длину, частоту и период) индексом 1, а конечные — индексом 2.

Начальная циклическая частота:

$ \omega_1 = \sqrt{\frac{g}{l_1}} $

После уменьшения длины на $ \Delta l $, новая длина стала:

$ l_2 = l_1 - \Delta l $

Новая циклическая частота:

$ \omega_2 = \sqrt{\frac{g}{l_2}} = \sqrt{\frac{g}{l_1 - \Delta l}} $

По условию задачи, циклическая частота увеличилась в $ n $ раз:

$ \omega_2 = n \cdot \omega_1 $

Подставим выражения для частот в это соотношение:

$ \sqrt{\frac{g}{l_1 - \Delta l}} = n \cdot \sqrt{\frac{g}{l_1}} $

Чтобы найти начальную длину $ l_1 $, возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{g}{l_1 - \Delta l} = n^2 \cdot \frac{g}{l_1} $

Сократим $ g $ и решим уравнение относительно $ l_1 $:

$ \frac{1}{l_1 - \Delta l} = \frac{n^2}{l_1} $

$ l_1 = n^2(l_1 - \Delta l) $

$ l_1 = n^2 l_1 - n^2 \Delta l $

$ n^2 \Delta l = n^2 l_1 - l_1 $

$ n^2 \Delta l = l_1(n^2 - 1) $

Отсюда выражаем начальную длину $ l_1 $:

$ l_1 = \frac{n^2 \Delta l}{n^2 - 1} $

Подставим числовые значения в систему СИ:

$ l_1 = \frac{1,3^2 \cdot 0,069 \text{ м}}{1,3^2 - 1} = \frac{1,69 \cdot 0,069 \text{ м}}{1,69 - 1} = \frac{0,11661 \text{ м}}{0,69} = 0,169 \text{ м} $

Теперь, зная начальную длину, можем определить начальный период колебаний $ T_1 $:

$ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} $

$ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{0,169 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{0,017245 \text{ с}^2} \approx 6,28 \cdot 0,1313 \text{ с} \approx 0,825 \text{ с} $

Ответ: период колебаний маятника с первоначальной длиной составляет приблизительно 0,825 с.