Номер 91, страница 31 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

91. Два математических маятника совершают свободные гармонические колебания: один — с периодом $T_1 = 1,2 \text{ с}$, другой — с периодом $T_2 = 0,50 \text{ с}$. Определите период свободных гармонических колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин данных маятников.

Дано:

$T_1 = 1,2$ с

$T_2 = 0,50$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Период свободных гармонических колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Выразим длину маятника $l$ из этой формулы. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g}$

Отсюда длина маятника равна:

$l = \frac{gT^2}{4\pi^2}$

Найдем длины первого и второго маятников, используя их периоды $T_1$ и $T_2$:

$l_1 = \frac{gT_1^2}{4\pi^2}$

$l_2 = \frac{gT_2^2}{4\pi^2}$

По условию задачи, длина искомого маятника $l$ равна сумме длин данных маятников:

$l = l_1 + l_2 = \frac{gT_1^2}{4\pi^2} + \frac{gT_2^2}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)$

Теперь найдем период колебаний $T$ нового маятника, подставив найденное выражение для его длины $l$ в исходную формулу периода:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)}{g}}$

Сократим $g$ в числителе и знаменателе подкоренного выражения:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2}}$

Извлечем $4\pi^2$ из-под корня:

$T = 2\pi\frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{2\pi}$

Сократив $2\pi$, получим итоговую формулу для периода искомого маятника:

$T = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T = \sqrt{(1,2 \text{ с})^2 + (0,50 \text{ с})^2} = \sqrt{1,44 \text{ с}^2 + 0,25 \text{ с}^2} = \sqrt{1,69 \text{ с}^2} = 1,3$ с

Ответ: $1,3$ с.