Номер 84, страница 29 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

84. Один из математических маятников совершил $N_1 = 20$ полных колебаний, а другой за такой же промежуток времени — $N_2 = 40$ полных колебаний. Определите отношение длин этих маятников.

Дано:

Число колебаний первого маятника: $N_1 = 20$

Число колебаний второго маятника: $N_2 = 40$

Промежуток времени для обоих маятников одинаков: $t_1 = t_2 = t$

Найти:

Отношение длин маятников: $\frac{l_1}{l_2}$

Решение:

Период колебаний $T$ – это время, за которое совершается одно полное колебание. Его можно вычислить по формуле: $T = \frac{t}{N}$, где $t$ – общее время колебаний, а $N$ – число колебаний за это время.

Для первого маятника период равен: $T_1 = \frac{t}{N_1}$.

Для второго маятника период равен: $T_2 = \frac{t}{N_2}$.

Найдем отношение периодов этих двух маятников:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{t}{N_1} \cdot \frac{N_2}{t} = \frac{N_2}{N_1}$

Подставим числовые значения:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{40}{20} = 2$

Период колебаний математического маятника также определяется его длиной $l$ и ускорением свободного падения $g$ по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Запишем эту формулу для каждого из маятников:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Найдем отношение периодов, используя эти формулы:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1/g}{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Теперь приравняем два полученных выражения для отношения периодов:

$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = 2$

Чтобы найти отношение длин $\frac{l_1}{l_2}$, возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{\frac{l_1}{l_2}})^2 = 2^2$

$\frac{l_1}{l_2} = 4$

Ответ: отношение длины первого маятника к длине второго равно 4.