Номер 77, страница 28 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

77. *
Шарик, подвешенный на пружине, сместили из положения равновесия вертикально вниз на $\Delta l = 3 \text{ см}$ и сообщили ему направленную вертикально вниз скорость, модуль которой $v_0 = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, после чего шарик стал совершать свободные гармонические колебания, циклическая частота которых $\omega = 25 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите амплитуду колебаний.

Дано:

Смещение из положения равновесия, $\Delta l = 3$ см
Начальная скорость, $v_0 = 1$ м/с
Циклическая частота, $\omega = 25$ рад/с

Перевод в систему СИ:
$\Delta l = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Амплитуда колебаний, $A$ - ?

Решение:

Гармонические колебания описываются уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $x$ — смещение от положения равновесия, $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза. Скорость тела при гармонических колебаниях является производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии для гармонических колебаний. Полная энергия системы $E$ в любой момент времени складывается из кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$: $E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$ где $m$ — масса шарика, $v$ — его скорость, $k$ — жесткость пружины, $x$ — смещение от положения равновесия.

В момент максимального отклонения от положения равновесия ($x = A$), скорость тела равна нулю ($v=0$), и вся энергия является потенциальной: $E = \frac{kA^2}{2}$

Приравнивая выражения для полной энергии, получаем: $\frac{kA^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$ $kA^2 = mv^2 + kx^2$

Циклическая частота колебаний пружинного маятника связана с массой и жесткостью соотношением $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, откуда $\omega^2 = \frac{k}{m}$ или $k = m\omega^2$. Подставим это в уравнение энергии: $m\omega^2 A^2 = mv^2 + m\omega^2 x^2$

Сократив массу $m$, получим связь между амплитудой, скоростью, смещением и циклической частотой: $\omega^2 A^2 = v^2 + \omega^2 x^2$

Отсюда выразим амплитуду $A$: $A^2 = \frac{v^2}{\omega^2} + x^2 \Rightarrow A = \sqrt{x^2 + \left(\frac{v}{\omega}\right)^2}$

Подставим в эту формулу начальные условия, заданные в задаче: $x = \Delta l = 0.03$ м и $v = v_0 = 1$ м/с. $A = \sqrt{(\Delta l)^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} = \sqrt{(0.03)^2 + \left(\frac{1}{25}\right)^2}$

Выполним вычисления: $A = \sqrt{0.0009 + (0.04)^2} = \sqrt{0.0009 + 0.0016} = \sqrt{0.0025} = 0.05 \text{ м}$

Амплитуду можно также выразить в сантиметрах: $A = 0.05 \text{ м} = 5 \text{ см}$.

Ответ: $A = 0.05$ м (или 5 см).