Номер 74, страница 27 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

74. *Груз массой $m$, подвешенный на пружине, совершает свободные гармонические колебания в вертикальном направлении с амплитудой $A$ и периодом $T$. Определите модуль силы, с которой пружина подействует на груз в тот момент времени, когда груз достигнет нижней точки траектории.

Дано:

Масса груза: $m$

Амплитуда колебаний: $A$

Период колебаний: $T$

Найти:

Модуль силы пружины в нижней точке траектории: $F_{упр}$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на груз в нижней точке его траектории. На груз действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины $\vec{F}_{упр}$, направленная вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает грузу ускорение:

$m\vec{a} = \vec{F}_{упр} + m\vec{g}$

В нижней точке траектории скорость груза равна нулю, а его ускорение максимально и направлено к положению равновесия, то есть вертикально вверх. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$ma_{max} = F_{упр} - mg$

где $a_{max}$ — модуль максимального ускорения, а $F_{упр}$ — модуль искомой силы упругости.

Отсюда выражаем силу упругости:

$F_{упр} = mg + ma_{max}$

При гармонических колебаниях модуль максимального ускорения связан с амплитудой $A$ и циклической (круговой) частотой $\omega$ соотношением:

$a_{max} = \omega^2 A$

Циклическая частота, в свою очередь, связана с периодом колебаний $T$ формулой:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим выражение для частоты в формулу для ускорения:

$a_{max} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 A = \frac{4\pi^2 A}{T^2}$

Теперь подставим найденное выражение для $a_{max}$ в формулу для силы упругости:

$F_{упр} = mg + m \frac{4\pi^2 A}{T^2}$

Вынесем массу $m$ за скобки, чтобы получить окончательный ответ:

$F_{упр} = m \left(g + \frac{4\pi^2 A}{T^2}\right)$

Ответ: $F_{упр} = m \left(g + \frac{4\pi^2 A}{T^2}\right)$