Номер 69, страница 26 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

69. *На гладкой горизонтальной плоскости находится брусок массой $m = 100$ г, прикрепленный к свободному концу пружины, второй конец которой закреплен (рис. 17). Жесткость пружины $k = 40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$. Брусок совершает свободные гармонические колебания. Определите амплитуду колебаний, если модуль максимального импульса бруска $p_{\text{max}} = 0,050 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$.

Рис. 17

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

$k = 40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$p_{max} = 0,050 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$A$

Решение:

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы "брусок-пружина" сохраняется, так как по условию задачи плоскость гладкая (трением можно пренебречь).

Полная энергия системы $E$ может быть определена через максимальную кинетическую энергию $E_{k,max}$ (в момент прохождения положения равновесия) или через максимальную потенциальную энергию $E_{p,max}$ (в моменты максимального отклонения от положения равновесия).

Максимальная кинетическая энергия: $E_{k,max} = \frac{m v_{max}^2}{2}$, где $v_{max}$ — максимальная скорость бруска.

Максимальная потенциальная энергия упругой деформации пружины: $E_{p,max} = \frac{k A^2}{2}$, где $A$ — амплитуда колебаний.

Согласно закону сохранения энергии:

$E_{k,max} = E_{p,max}$

$\frac{m v_{max}^2}{2} = \frac{k A^2}{2}$

Модуль импульса бруска связан с его скоростью соотношением $p = m v$. Следовательно, максимальный импульс $p_{max}$ соответствует максимальной скорости $v_{max}$:

$p_{max} = m v_{max}$

Из этого уравнения выразим максимальную скорость:

$v_{max} = \frac{p_{max}}{m}$

Подставим это выражение для $v_{max}$ в уравнение закона сохранения энергии:

$\frac{m}{2} \left(\frac{p_{max}}{m}\right)^2 = \frac{k A^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и раскроем скобки:

$m \frac{p_{max}^2}{m^2} = k A^2$

$\frac{p_{max}^2}{m} = k A^2$

Выразим из этого уравнения искомую амплитуду $A$:

$A^2 = \frac{p_{max}^2}{m k}$

$A = \sqrt{\frac{p_{max}^2}{m k}} = \frac{p_{max}}{\sqrt{m k}}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения из условия:

$A = \frac{0,050}{\sqrt{0,1 \cdot 40}} = \frac{0,050}{\sqrt{4}} = \frac{0,050}{2} = 0,025 \text{ м}$

Ответ: $A = 0,025 \text{ м}$.