Номер 62, страница 25 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

62. Для взвешивания космонавтов на борту МКС используется измеритель массы, представляющий собой платформу, прикрепленную к пружине, второй конец которой закреплен на корпусе станции. Один из космонавтов, масса которого $m_1 = 75 \text{ кг}$, прижавшись к платформе, совершает три свободных колебания за время $t_1 = 3,0 \text{ с}$. Определите массу второго космонавта, совершающего три колебания за время $t_2 = 3,2 \text{ с}$. Массами пружины и платформы пренебречь.

Дано:

$m_1 = 75$ кг

$N_1 = 3$

$t_1 = 3.0$ с

$N_2 = 3$

$t_2 = 3.2$ с

Найти:

$m_2$

Решение:

Для измерения массы в условиях невесомости используется пружинный маятник. Период колебаний такого маятника зависит от массы тела, прикрепленного к пружине, и жесткости самой пружины. Массами пружины и платформы по условию можно пренебречь.

Период свободных гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $T$ – период колебаний, $m$ – масса колеблющегося тела, $k$ – жесткость пружины.

Также период колебаний можно вычислить, зная время $t$, за которое было совершено $N$ полных колебаний:

$T = \frac{t}{N}$

Запишем эти соотношения для первого и второго космонавтов.

Для первого космонавта период колебаний $T_1$:

$T_1 = \frac{t_1}{N_1}$ и $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$

Отсюда следует:

$\frac{t_1}{N_1} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$ (1)

Для второго космонавта период колебаний $T_2$ (жесткость пружины $k$ остается той же):

$T_2 = \frac{t_2}{N_2}$ и $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$

Отсюда следует:

$\frac{t_2}{N_2} = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$ (2)

Для нахождения неизвестной массы $m_2$ разделим почленно уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{t_2/N_2}{t_1/N_1} = \frac{2\pi\sqrt{m_2/k}}{2\pi\sqrt{m_1/k}}$

После сокращения одинаковых множителей $2\pi$ и $\sqrt{k}$ получаем:

$\frac{t_2 \cdot N_1}{t_1 \cdot N_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Согласно условию задачи, число колебаний в обоих случаях одинаково: $N_1 = N_2 = 3$. Следовательно, они сокращаются:

$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Чтобы выразить массу $m_2$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{t_2}{t_1})^2 = \frac{m_2}{m_1}$

Из этого соотношения выражаем искомую массу второго космонавта:

$m_2 = m_1 \cdot (\frac{t_2}{t_1})^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$m_2 = 75 \text{ кг} \cdot (\frac{3.2 \text{ с}}{3.0 \text{ с}})^2 = 75 \cdot (\frac{16}{15})^2 = 75 \cdot \frac{256}{225} = \frac{75 \cdot 256}{225} = \frac{256}{3} \approx 85.333...$ кг.

Исходные данные представлены с двумя значащими цифрами (3.0, 3.2 и 75), поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр.

Ответ: $m_2 \approx 85$ кг.