Номер 64, страница 25 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

64. К двум легким пружинам различной жесткости подвешены грузы равной массы. При этом отношение удлинений пружин $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = 2$. Определите отношение полных механических энергий пружинных маятников, если отношение их амплитуд колебаний $\frac{x_{2\text{max}}}{x_{1\text{max}}} = 2$.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$

$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = 2$

$\frac{x_{2\text{max}}}{x_{1\text{max}}} = 2$

Найти:

$\frac{E_1}{E_2}$

Решение:

Когда грузы подвешены к пружинам, они находятся в состоянии равновесия. В этом состоянии сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины. По закону Гука, сила упругости равна $F_{\text{упр}} = k \Delta l$, где $k$ – жесткость пружины, а $\Delta l$ – ее удлинение.

Для первой пружины:

$m_1 g = k_1 \Delta l_1$

Для второй пружины:

$m_2 g = k_2 \Delta l_2$

Поскольку массы грузов равны ($m_1 = m_2 = m$), мы можем приравнять правые части уравнений:

$k_1 \Delta l_1 = k_2 \Delta l_2$

Отсюда можно выразить отношение жесткостей пружин:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}$

Используя данное в условии отношение удлинений $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = 2$, находим:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{1}{2}$

Полная механическая энергия пружинного маятника равна его максимальной потенциальной энергии, которая достигается при максимальном отклонении от положения равновесия (т.е. при смещении, равном амплитуде $x_{\text{max}}$). Формула для полной механической энергии:

$E = \frac{k x_{\text{max}}^2}{2}$

Запишем выражения для энергий первого и второго маятников:

$E_1 = \frac{k_1 x_{1\text{max}}^2}{2}$

$E_2 = \frac{k_2 x_{2\text{max}}^2}{2}$

Теперь найдем отношение их полных механических энергий:

$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{k_1 x_{1\text{max}}^2}{2}}{\frac{k_2 x_{2\text{max}}^2}{2}} = \frac{k_1}{k_2} \cdot \left(\frac{x_{1\text{max}}}{x_{2\text{max}}}\right)^2$

Из условия известно, что $\frac{x_{2\text{max}}}{x_{1\text{max}}} = 2$, следовательно, обратное отношение $\frac{x_{1\text{max}}}{x_{2\text{max}}} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные отношения жесткостей и амплитуд в формулу для отношения энергий:

$\frac{E_1}{E_2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

Ответ: отношение полных механических энергий пружинных маятников $\frac{E_1}{E_2}$ равно $\frac{1}{8}$.