Номер 63, страница 25 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

63. В настоящее время устройством, играющим роль маятника в часах-ходиках, является кварцевая пластина, частота собственных колебаний которой очень слабо зависит от температуры и других внешних факторов. Как и для пружинного маятника, период колебаний кварцевой пластины прямо пропорционален квадратному корню из массы пластины. Это свойство используется для изготовления сверхчувствительных весов. Пусть масса пластины $m_1 = 0,1$ г, частота собственных колебаний $\nu = 1\,000\,000$ Гц. На пластину поместили образец, и частота колебаний изменилась на $\vert\Delta\nu\vert = 10$ Гц. Определите массу образца.

Дано:

$m_1 = 0,1 \text{ г} = 0,1 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 10^{-4} \text{ кг}$

$\nu_1 = 1 \, 000 \, 000 \text{ Гц} = 10^6 \text{ Гц}$

$|\Delta\nu| = 10 \text{ Гц}$

Найти:

$\Delta m$ — массу образца.

Решение:

Согласно условию задачи, период колебаний $T$ кварцевой пластины, как и у пружинного маятника, прямо пропорционален квадратному корню из её массы $m$. Это можно записать в виде формулы:

$T = C \sqrt{m}$, где $C$ — коэффициент пропорциональности.

Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду: $\nu = 1/T$.

Следовательно, частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из массы:

$\nu = \frac{1}{C\sqrt{m}}$

Из этого соотношения следует, что произведение частоты на квадратный корень из массы есть величина постоянная для данной колебательной системы:

$\nu \sqrt{m} = \text{const}$

Мы можем приравнять это произведение для двух состояний: до и после добавления образца на пластину.

1. Начальное состояние: масса пластины $m_1$, частота ее собственных колебаний $\nu_1$.

2. Конечное состояние: общая масса $m_2 = m_1 + \Delta m$, где $\Delta m$ — масса образца, и новая частота колебаний $\nu_2$.

Запишем равенство для этих двух состояний:

$\nu_1 \sqrt{m_1} = \nu_2 \sqrt{m_2}$

При добавлении образца масса системы увеличивается ($m_2 > m_1$), что приводит к уменьшению частоты колебаний ($\nu_2 < \nu_1$). Таким образом, изменение частоты $\Delta\nu = \nu_2 - \nu_1$ является отрицательной величиной. Модуль изменения частоты равен $|\Delta\nu| = \nu_1 - \nu_2$. Отсюда новая частота $\nu_2 = \nu_1 - |\Delta\nu|$.

Подставим выражения для $m_2$ и $\nu_2$ в наше равенство:

$\nu_1 \sqrt{m_1} = (\nu_1 - |\Delta\nu|) \sqrt{m_1 + \Delta m}$

Для того чтобы найти $\Delta m$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\nu_1^2 m_1 = (\nu_1 - |\Delta\nu|)^2 (m_1 + \Delta m)$

Выразим сумму масс $(m_1 + \Delta m)$:

$m_1 + \Delta m = m_1 \frac{\nu_1^2}{(\nu_1 - |\Delta\nu|)^2} = m_1 \left(\frac{\nu_1}{\nu_1 - |\Delta\nu|}\right)^2$

Отсюда находим массу образца $\Delta m$:

$\Delta m = m_1 \left[ \left(\frac{\nu_1}{\nu_1 - |\Delta\nu|}\right)^2 - 1 \right]$

Поскольку изменение частоты $|\Delta\nu| = 10 \text{ Гц}$ значительно меньше начальной частоты $\nu_1 = 10^6 \text{ Гц}$, мы можем упростить выражение, используя приближение. Преобразуем дробь в скобках:

$\frac{\nu_1}{\nu_1 - |\Delta\nu|} = \frac{1}{1 - \frac{|\Delta\nu|}{\nu_1}} = \left(1 - \frac{|\Delta\nu|}{\nu_1}\right)^{-1}$

Воспользуемся формулой биномиального приближения $(1+x)^n \approx 1+nx$ для малых значений $|x|$. В нашем случае $x = -\frac{|\Delta\nu|}{\nu_1}$ и $n = -2$.

$\left(\frac{\nu_1}{\nu_1 - |\Delta\nu|}\right)^2 = \left(1 - \frac{|\Delta\nu|}{\nu_1}\right)^{-2} \approx 1 + (-2)\left(-\frac{|\Delta\nu|}{\nu_1}\right) = 1 + 2\frac{|\Delta\nu|}{\nu_1}$

Подставим это приближенное выражение в формулу для $\Delta m$:

$\Delta m \approx m_1 \left[ \left(1 + 2\frac{|\Delta\nu|}{\nu_1}\right) - 1 \right] = 2m_1 \frac{|\Delta\nu|}{\nu_1}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения в СИ:

$\Delta m \approx 2 \cdot 10^{-4} \text{ кг} \cdot \frac{10 \text{ Гц}}{10^6 \text{ Гц}} = 2 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-5} \text{ кг} = 2 \cdot 10^{-9} \text{ кг}$

Ответ: масса образца равна $2 \cdot 10^{-9}$ кг.