Номер 56, страница 23 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

56. Груз, подвешенный на резиновом шнуре, совершает свободные гармонические колебания в вертикальной плоскости. Во сколько раз изменится период колебаний, если груз подвесить на том же шнуре, сложенном вдвое?

Дано:

$m$ – масса груза

$L_1$ – начальная длина шнура

$A$ – площадь поперечного сечения шнура

$E$ – модуль Юнга материала шнура

$k_1$ – начальная жесткость шнура

$T_1$ – начальный период колебаний

$L_2 = L_1 / 2$ – конечная длина шнура

$k_2$ – конечная жесткость шнура

$T_2$ – конечный период колебаний

Найти:

Отношение периодов $\frac{T_1}{T_2}$.

Решение:

Период свободных гармонических колебаний груза, подвешенного на упругом шнуре (пружине), определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ – масса груза, а $k$ – жесткость шнура.

Жесткость самого шнура зависит от его свойств и размеров по формуле:

$k = \frac{EA}{L}$

где $E$ – модуль Юнга (характеристика материала), $A$ – площадь поперечного сечения, $L$ – длина шнура.

В первом случае, когда груз подвешен на шнуре длиной $L_1$, его жесткость равна:

$k_1 = \frac{EA}{L_1}$

А период колебаний равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}$

Во втором случае шнур сложили вдвое. Это означает, что теперь груз подвешен на двух параллельных нитях шнура, каждая из которых имеет длину $L_2 = \frac{L_1}{2}$.

Жесткость каждой из этих двух половин шнура будет:

$k' = \frac{EA}{L_2} = \frac{EA}{L_1/2} = 2\frac{EA}{L_1} = 2k_1$

Поскольку эти две части шнура соединены параллельно (обе поддерживают груз), их общая (эквивалентная) жесткость $k_2$ равна сумме их жесткостей:

$k_2 = k' + k' = 2k' = 2(2k_1) = 4k_1$

Таким образом, жесткость шнура, сложенного вдвое, в 4 раза больше первоначальной жесткости.

Новый период колебаний $T_2$ будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k_1}} = \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} = \frac{1}{2} T_1$

Следовательно, новый период $T_2$ в два раза меньше начального периода $T_1$.

Найдем, во сколько раз изменится период, рассчитав отношение начального периода к конечному:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{T_1}{\frac{1}{2}T_1} = 2$

Это означает, что период колебаний уменьшится в 2 раза.

Ответ: Период колебаний уменьшится в 2 раза.