Номер 51, страница 22 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

51. *По скользкой дорожке навстречу хозяину, виляя хвостом с частотой $v = 4$ Гц, бежит собака. Масса хвоста составляет $\alpha = 2$ % массы собаки. При какой минимальной амплитуде колебаний хвоста собака не сможет бежать ровно, если коэффициент трения между лапами собаки и дорожкой $\mu = 0,1$?

Примечание. Тело собаки и ее хвост считайте материальными точками.

Дано:

Частота колебаний хвоста, $v = 4$ Гц

Масса хвоста, $\alpha = 2 \% = 0.02$ от массы собаки

Коэффициент трения, $\mu = 0.1$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Минимальную амплитуду колебаний хвоста, $A_{min}$

Решение:

Собака не сможет бежать ровно, если сила, действующая на её тело в поперечном направлении, превысит максимальную силу трения покоя её лап о дорожку. Рассмотрим силы, действующие в направлении, перпендикулярном движению собаки.

Хвост собаки совершает гармонические колебания. Поперечная координата хвоста меняется со временем по закону $y(t) = A \sin(\omega t)$, где $A$ — амплитуда, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Ускорение хвоста в поперечном направлении равно второй производной от координаты по времени:

$a_y(t) = y''(t) = -A\omega^2 \sin(\omega t)$

Максимальное значение ускорения хвоста по модулю достигается, когда $|\sin(\omega t)| = 1$:

$a_{max} = A\omega^2$

Циклическая частота $\omega$ связана с обычной частотой $v$ соотношением $\omega = 2\pi v$.

Тогда $a_{max} = A(2\pi v)^2 = 4\pi^2 v^2 A$.

Пусть $M$ — масса всей собаки. Тогда масса хвоста $m_x = \alpha M$.

Согласно второму закону Ньютона, максимальная сила, действующая на хвост со стороны тела собаки для обеспечения такого ускорения, равна:

$F_{max} = m_x a_{max} = \alpha M \cdot 4\pi^2 v^2 A$

Согласно третьему закону Ньютона, хвост действует на тело собаки с силой реакции $F_{реакции}$, равной по модулю и противоположной по направлению. Эта сила стремится сместить тело собаки в поперечном направлении.

$F_{реакции, max} = F_{max} = 4\pi^2 \alpha M v^2 A$

Смещению тела собаки препятствует сила трения покоя $F_{тр}$ между лапами и дорожкой. Максимальная сила трения покоя равна:

$F_{тр, max} = \mu N$

где $N$ — сила нормальной реакции опоры. Поскольку дорожка горизонтальная, сила нормальной реакции равна весу собаки: $N = Mg$.

$F_{тр, max} = \mu M g$

Собака не сможет бежать ровно, если максимальная сила реакции со стороны хвоста превысит максимальную силу трения покоя. Минимальная амплитуда $A_{min}$, при которой это произойдёт, соответствует условию равенства этих сил:

$F_{реакции, max} = F_{тр, max}$

$4\pi^2 \alpha M v^2 A_{min} = \mu M g$

Масса собаки $M$ сокращается. Выразим искомую амплитуду $A_{min}$:

$A_{min} = \frac{\mu g}{4\pi^2 \alpha v^2}$

Подставим числовые значения:

$A_{min} = \frac{0.1 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{4\pi^2 \cdot 0.02 \cdot (4 \text{ Гц})^2} = \frac{0.98}{4\pi^2 \cdot 0.02 \cdot 16} = \frac{0.98}{1.28\pi^2} \approx \frac{0.98}{1.28 \cdot 9.87} \approx \frac{0.98}{12.63} \approx 0.0776 \text{ м}$

Переведём результат в сантиметры: $0.0776 \text{ м} = 7.76 \text{ см}$.

Ответ: $A_{min} \approx 7.8 \text{ см}$.