Номер 45, страница 20 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

45. Период гармонических колебаний бруска, колеблющегося вдоль оси $Ox$, $T = 2,4$ с. Определите, через какой минимальный промежуток времени брусок сместится из положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды.

Дано:

Период гармонических колебаний, $T = 2,4$ с.

Смещение от положения равновесия, $x = A/2$, где $A$ - амплитуда.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Минимальный промежуток времени, $t$ - ?

Решение:

Закон гармонических колебаний бруска, который начинает движение из положения равновесия ($x=0$ при $t=0$), можно описать уравнением:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

где $x(t)$ - смещение бруска от положения равновесия в момент времени $t$, $A$ - амплитуда колебаний, $\omega$ - циклическая (угловая) частота.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

По условию задачи, смещение бруска должно быть равно половине амплитуды, то есть $x(t) = A/2$. Подставим это значение в уравнение колебаний:

$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$

Сократив на $A$ (поскольку $A \neq 0$), получим:

$\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$

Нам нужно найти минимальный промежуток времени $t > 0$, удовлетворяющий этому уравнению. Наименьшее положительное значение аргумента синуса, при котором его значение равно $1/2$, составляет $\pi/6$ радиан.

$\omega t = \frac{\pi}{6}$

Теперь подставим выражение для циклической частоты $\omega = \frac{2\pi}{T}$:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$

Выразим отсюда время $t$:

$t = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$

Подставим числовое значение периода $T = 2,4$ с:

$t = \frac{2,4 \text{ с}}{12} = 0,2 \text{ с}$

Ответ: 0,2 с.