Номер 41, страница 19 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

41. *Цилиндр совершает гармонические колебания под действием силы, модуль максимального значения которой

$F_{\text{max}} = 20 \text{ Н}$. Определите циклическую частоту колебаний цилиндра, если его модуль максимального импульса

$p_{\text{max}} = 4,0 \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$.

Дано:

$F_{max} = 20$ Н

$p_{max} = 4,0 \frac{кг \cdot м}{с}$

Найти:

$\omega$

Решение:

При гармонических колебаниях координата тела изменяется по закону $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая частота.

Скорость тела является производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi_0)$.

Максимальное значение модуля скорости (амплитуда скорости) равно $v_{max} = A\omega$.

Импульс тела определяется как $p(t) = m v(t)$. Соответственно, максимальный импульс равен:

$p_{max} = m v_{max} = m A \omega$ (1)

Ускорение тела является производной от скорости по времени: $a(t) = v'(t) = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi_0)$.

Максимальное значение модуля ускорения (амплитуда ускорения) равно $a_{max} = A\omega^2$.

Согласно второму закону Ньютона $F=ma$, максимальная сила, действующая на цилиндр, равна:

$F_{max} = m a_{max} = m A \omega^2$ (2)

Для нахождения циклической частоты $\omega$ разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{F_{max}}{p_{max}} = \frac{m A \omega^2}{m A \omega}$

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$\omega = \frac{F_{max}}{p_{max}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\omega = \frac{20 \text{ Н}}{4,0 \text{ кг} \cdot \text{м/с}} = 5,0 \frac{рад}{с}$

Ответ: циклическая частота колебаний цилиндра равна $5,0 \frac{рад}{с}$.