Номер 39, страница 19 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

39. *Маленький шарик массой $m = 10 \text{ г}$ совершает вертикальные гармонические колебания. Определите среднюю скорость движения шарика между крайними положениями, если максимальная кинетическая энергия колеблющегося шарика $(W_{\text{к}})_{\text{max}} = 0,20 \text{ Дж}$.

Дано:

$m = 10 \text{ г}$

$(W_к)_{\text{max}} = 0,20 \text{ Дж}$

Перевод в СИ:

$m = 10 \text{ г} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,01 \text{ кг}$

Найти:

$v_{ср}$

Решение:

Средняя скорость движения $v_{ср}$ определяется как отношение всего пройденного пути $S$ ко времени движения $t$:

$v_{ср} = \frac{S}{t}$

При движении шарика между крайними положениями, то есть от одного крайнего положения до другого, он проходит путь, равный двум амплитудам колебаний $A$.

$S = 2A$

Время, которое требуется для прохождения этого пути, равно половине периода колебаний $T$.

$t = \frac{T}{2}$

Подставим выражения для пути и времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{2A}{T/2} = \frac{4A}{T}$

Максимальная кинетическая энергия $(W_к)_{\text{max}}$ связана с массой шарика $m$ и его максимальной скоростью $v_{\text{max}}$ соотношением:

$(W_к)_{\text{max}} = \frac{m v_{\text{max}}^2}{2}$

Из этой формулы можно выразить максимальную скорость:

$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2 (W_к)_{\text{max}}}{m}}$

Для гармонических колебаний максимальная скорость $v_{\text{max}}$ связана с амплитудой $A$ и периодом $T$ (или циклической частотой $\omega = 2\pi/T$) следующим образом:

$v_{\text{max}} = A \omega = A \frac{2\pi}{T}$

Из этого соотношения выразим отношение $\frac{A}{T}$:

$\frac{A}{T} = \frac{v_{\text{max}}}{2\pi}$

Теперь подставим полученное выражение в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = 4 \left( \frac{A}{T} \right) = 4 \left( \frac{v_{\text{max}}}{2\pi} \right) = \frac{2 v_{\text{max}}}{\pi}$

Произведем вычисления. Сначала найдем максимальную скорость шарика:

$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,20 \text{ Дж}}{0,01 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{0,4}{0,01}} \text{ м/с} = \sqrt{40} \text{ м/с} \approx 6,32 \text{ м/с}$

Теперь вычислим среднюю скорость движения шарика между крайними положениями:

$v_{ср} = \frac{2 v_{\text{max}}}{\pi} = \frac{2 \sqrt{40}}{\pi} \text{ м/с} \approx \frac{2 \cdot 6,32 \text{ м/с}}{3,14} \approx 4,025 \text{ м/с}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$v_{ср} \approx 4,0 \text{ м/с}$

Ответ: средняя скорость движения шарика между крайними положениями составляет приблизительно $4,0 \text{ м/с}$.