Номер 44, страница 20 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

44. Груз совершает гармонические колебания вдоль оси $Ox$. В начальный момент времени груз находился в положении равновесия и его координата была $x_0 = 0$, а в момент времени $t = 0,20$ с координата груза впервые стала $\frac{x_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$, где $x_{\text{max}}$ — амплитуда колебаний. Определите период колебаний груза.

Дано:

$t_0 = 0$ c, $x_0 = 0$

$t = 0,20$ с

$x(t) = \frac{x_{max}}{\sqrt{2}}$ (впервые)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$T$ — период колебаний

Решение:

Уравнение гармонических колебаний описывает зависимость координаты тела от времени. Поскольку в начальный момент времени $t_0 = 0$ тело находилось в положении равновесия ($x_0 = 0$), уравнение движения удобно записать в виде:

$x(t) = x_{max} \sin(\omega t + \phi_0)$

Подставим начальные условия $t=0$, $x=0$:

$0 = x_{max} \sin(\phi_0)$

Отсюда начальная фаза $\phi_0 = 0$ (при условии, что начальная скорость направлена в положительную сторону оси Ox). Тогда уравнение колебаний принимает вид:

$x(t) = x_{max} \sin(\omega t)$

Циклическая (угловая) частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в уравнение движения:

$x(t) = x_{max} \sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$

Согласно условию, в момент времени $t = 0,20$ с координата груза впервые стала равна $x = \frac{x_{max}}{\sqrt{2}}$. Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{x_{max}}{\sqrt{2}} = x_{max} \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot 0,20\right)$

Сократим обе части уравнения на $x_{max}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{2\pi \cdot 0,20}{T}\right)$

Аргумент синуса (фаза колебаний), при котором его значение впервые после $0$ становится равным $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (или $\frac{\sqrt{2}}{2}$), равен $\frac{\pi}{4}$ радиан.

Следовательно, мы можем приравнять фазу этому значению:

$\frac{2\pi \cdot 0,20}{T} = \frac{\pi}{4}$

Теперь выразим из этого уравнения период $T$:

$\frac{0,4\pi}{T} = \frac{\pi}{4}$

$T = \frac{0,4\pi \cdot 4}{\pi}$

$T = 0,4 \cdot 4 = 1,6$ c.

Ответ: период колебаний груза равен 1,6 с.