Номер 42, страница 20 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

42. *Координата груза, совершающего гармонические колебания вдоль оси Ox, имеет вид: $x(t) = A\sin(Bt + C)$, где $A, B, C$ — константы, причем $-\pi < C \le \pi$. Максимальная кинетическая энергия груза $(W_{\text{к}})_{\text{max}} = 30$ мкДж, модуль максимальной равнодействующей силы, действующих на груз, $F_{\text{max}} = 1,5$ мН. Запишите кинематический закон гармонических колебаний груза, если период колебаний $T = 2$ с, начальная фаза $\varphi_0 = \frac{\pi}{3}$ рад.

Дано:

$(W_к)_{\text{max}} = 30 \text{ мкДж} = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$
$F_{\text{max}} = 1.5 \text{ мН} = 1.5 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$
$T = 2 \text{ с}$
$\phi_0 = C = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$x(t)$

Решение:

Кинематический закон гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A\sin(Bt + C)$, где $A$ – амплитуда колебаний, $B$ – циклическая (угловая) частота $\omega$, $C$ – начальная фаза $\phi_0$. Нам нужно определить значения констант $A$, $B$ и $C$.

1. Нахождение циклической частоты B.
Циклическая частота $B = \omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением:
$B = \omega = \frac{2\pi}{T}$
Подставим известное значение периода $T = 2 \text{ с}$:
$B = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ рад/с}$

2. Нахождение начальной фазы C.
Начальная фаза $C = \phi_0$ дана в условии задачи:
$C = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$
Данное значение удовлетворяет указанному в условии ограничению $-\pi < C \le \pi$.

3. Нахождение амплитуды A.
Для нахождения амплитуды воспользуемся данными о максимальной кинетической энергии и максимальной равнодействующей силе.
Скорость груза $v(t)$ является первой производной от координаты по времени:
$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A\sin(Bt + C)) = AB\cos(Bt + C)$
Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) достигается, когда $\cos(Bt + C) = \pm 1$, и равно:
$v_{\text{max}} = AB$
Максимальная кинетическая энергия груза массой $m$ выражается через максимальную скорость:
$(W_к)_{\text{max}} = \frac{m v_{\text{max}}^2}{2} = \frac{m(AB)^2}{2} = \frac{m A^2 B^2}{2}$ (1)
Ускорение груза $a(t)$ является первой производной от скорости по времени:
$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(AB\cos(Bt + C)) = -AB^2\sin(Bt + C)$
Максимальное значение модуля ускорения (амплитуда ускорения) достигается, когда $\sin(Bt + C) = \pm 1$, и равно:
$a_{\text{max}} = AB^2$
Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$. Тогда максимальное значение модуля равнодействующей силы равно:
$F_{\text{max}} = m a_{\text{max}} = m A B^2$ (2)
Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными: $m$ и $A$.
$\begin{cases} (W_к)_{\text{max}} = \frac{m A^2 B^2}{2} \\ F_{\text{max}} = m A B^2 \end{cases}$
Чтобы найти $A$, разделим уравнение (1) на уравнение (2):
$\frac{(W_к)_{\text{max}}}{F_{\text{max}}} = \frac{\frac{m A^2 B^2}{2}}{m A B^2} = \frac{A}{2}$
Отсюда выражаем амплитуду $A$:
$A = \frac{2 (W_к)_{\text{max}}}{F_{\text{max}}}$
Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:
$A = \frac{2 \cdot 30 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}}{1.5 \cdot 10^{-3} \text{ Н}} = \frac{60 \cdot 10^{-6}}{1.5 \cdot 10^{-3}} \text{ м} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.04 \text{ м}$

4. Запись кинематического закона.
Подставим найденные значения $A=0.04 \text{ м}$, $B=\pi \text{ рад/с}$ и $C=\frac{\pi}{3} \text{ рад}$ в исходное уравнение $x(t) = A\sin(Bt + C)$:
$x(t) = 0.04\sin(\pi t + \frac{\pi}{3})$
(координата $x$ измеряется в метрах, время $t$ – в секундах).

Ответ: $x(t) = 0.04\sin(\pi t + \frac{\pi}{3})$.