Номер 49, страница 21 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

49. Амплитуда гармонических колебаний маленького бруска, колеблющегося вдоль оси $Ox$, $x_{\text{max}} = 4$ см. В начальный момент времени его проекция скорости положительна, а координата $x_0 = 2$ см. Определите, через какой минимальный промежуток времени координата бруска вновь станет $x = 2$ см, если период колебаний $T = 1,8$ с.

Дано:

$x_{max} = 4$ см
$x_0 = 2$ см
$v_{0x} > 0$
$T = 1,8$ с

Перевод в систему СИ:

$x_{max} = 0,04$ м
$x_0 = 0,02$ м

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний бруска вдоль оси Ox имеет вид: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Амплитуда колебаний $A$ равна максимальному смещению $x_{max}$: $A = x_{max} = 4$ см.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Проекция скорости бруска на ось Ox является производной от координаты по времени: $v_x(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$.

Для определения начальной фазы $\phi_0$ воспользуемся начальными условиями, заданными для момента времени $t=0$: $x(0) = x_0 = 2$ см и $v_x(0) > 0$.

Подставим $t=0$ в уравнение для координаты: $x(0) = A \cos(\phi_0) \implies 2 = 4 \cos(\phi_0)$
$\cos(\phi_0) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Этому уравнению соответствуют два возможных значения фазы в интервале от $-\pi$ до $\pi$: $\phi_0 = \frac{\pi}{3}$ и $\phi_0 = -\frac{\pi}{3}$.

Теперь используем условие для начальной скорости: $v_x(0) = -A\omega \sin(\phi_0) > 0$. Поскольку амплитуда $A$ и частота $\omega$ являются положительными величинами, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $\sin(\phi_0) < 0$.

Проверим оба значения $\phi_0$:
1. Если $\phi_0 = \frac{\pi}{3}$, то $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. Это значение не удовлетворяет условию.
2. Если $\phi_0 = -\frac{\pi}{3}$, то $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Это значение удовлетворяет условию.

Таким образом, начальная фаза колебаний $\phi_0 = -\frac{\pi}{3}$. Уравнение движения бруска принимает вид: $x(t) = 4 \cos(\omega t - \frac{\pi}{3})$.

Теперь найдем минимальный промежуток времени $\Delta t = t > 0$, через который координата бруска вновь станет $x=2$ см. $x(t) = 2$
$4 \cos(\omega t - \frac{\pi}{3}) = 2$
$\cos(\omega t - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Общее решение этого тригонометрического уравнения: $\omega t - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Рассмотрим два семейства решений:

1) $\omega t - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\omega t = 2\pi n$
Подставляя $\omega = \frac{2\pi}{T}$, получаем $t = nT$. При $n=0$ получаем $t=0$, что является начальным моментом. Следующий момент времени, когда брусок будет в этой же точке с той же скоростью, будет при $n=1$, то есть $t=T$.

2) $\omega t - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\omega t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$t = \frac{1}{\omega}(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = \frac{T}{2\pi}(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n) = T(\frac{1}{3} + n)$. Наименьшее положительное значение времени в этой серии решений получаем при $n=0$: $t = \frac{T}{3}$.

Сравнивая два наименьших положительных момента времени, когда $x=2$ см ($t=T/3$ и $t=T$), выбираем минимальный: $\Delta t = \frac{T}{3}$. Физически это соответствует времени, за которое брусок, начав движение из точки $x=2$ см в положительном направлении, достигнет амплитуды $x=4$ см и вернется обратно в точку $x=2$ см.

Произведем вычисления: $\Delta t = \frac{T}{3} = \frac{1,8 \text{ с}}{3} = 0,6$ с.

Ответ: 0,6 с.