Номер 47, страница 21 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

47. *Брусок совершает гармонические колебания вдоль оси $Ox$ с периодом $T = 6 \text{ с}$. Определите, через какой минимальный промежуток времени после начала отсчета времени проекция скорости движения бруска будет равна половине проекции его максимальной скорости. В начальный момент времени брусок находился в положении равновесия.

Дано:

$T = 6$ с

$v_x(t) = \frac{1}{2} v_{x, max}$

$x(0) = 0$ (брусок в положении равновесия)

Найти:

$t$ - минимальный промежуток времени

Решение:

Уравнение гармонических колебаний для координаты $x$ и проекции скорости $v_x$ можно записать в виде:

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

$v_x(t) = x'(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

По условию, в начальный момент времени ($t=0$) брусок находился в положении равновесия, то есть $x(0) = 0$. Подставим это в уравнение для координаты:

$x(0) = A \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0) = A \sin(\phi_0) = 0$

Отсюда следует, что $\sin(\phi_0) = 0$, что возможно при $\phi_0 = 0$ или $\phi_0 = \pi$.

Когда тело проходит положение равновесия, его скорость максимальна по модулю. Проверим, какому значению $\phi_0$ это соответствует. Подставим $t=0$ в уравнение для скорости:

$v_x(0) = A\omega \cos(\phi_0)$

Чтобы скорость была максимальной по модулю, $|\cos(\phi_0)|$ должен быть равен 1. Это выполняется как для $\phi_0 = 0$ ($\cos(0)=1$), так и для $\phi_0 = \pi$ ($\cos(\pi)=-1$). Выберем для простоты $\phi_0 = 0$. Тогда уравнения движения принимают вид:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

$v_x(t) = A\omega \cos(\omega t)$

Максимальное значение проекции скорости (амплитуда скорости) равно $v_{x, max} = A\omega$.

Согласно условию задачи, необходимо найти минимальное время $t > 0$, при котором проекция скорости будет равна половине максимальной:

$v_x(t) = \frac{1}{2} v_{x, max}$

Подставляя выражения для $v_x(t)$ и $v_{x, max}$, получаем:

$A\omega \cos(\omega t) = \frac{1}{2} (A\omega)$

Сокращая обе части на $A\omega$ (где $A\omega \neq 0$), имеем:

$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения: $\omega t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Мы ищем минимальный положительный промежуток времени $t$. Для этого нужно выбрать наименьшее положительное значение для фазы $\omega t$. Это происходит при $k=0$ и знаке "+":

$\omega t = \frac{\pi}{3}$

Выразим отсюда время $t$:

$t = \frac{\pi}{3\omega}$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ формулой $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Вычислим циклическую частоту, используя данное значение периода $T=6$ с:

$\omega = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ рад/с

Теперь подставим найденное значение $\omega$ в выражение для времени $t$:

$t = \frac{\pi/3}{\pi/3} = 1$ с

Ответ: 1 с.