Номер 40, страница 19 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

40. *Небольшой шарик, подвешенный на легкой пружине, совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой $x_{\text{max}} = 2,0$ см. Максимальная кинетическая энергия колеблющегося шарика $(W_{\text{к}})_{\text{max}} = 0,30$ мДж. При каком смещении (координате) от положения равновесия проекция равнодействующей сил, действующих на шарик, $F_x = -22,5$ мН, если координатная ось $Ox$ направлена вертикально, а координата, соответствующая положению равновесия шарика, $x_0 = 0$ мм?

Дано:
Амплитуда колебаний, $x_{max} = 2,0 \text{ см}$
Максимальная кинетическая энергия, $(W_к)_{max} = 0,30 \text{ мДж}$
Проекция равнодействующей силы, $F_x = -22,5 \text{ мН}$
Координата положения равновесия, $x_0 = 0 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:
$x_{max} = 2,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$(W_к)_{max} = 0,30 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$
$F_x = -22,5 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$
$x_0 = 0 \text{ м}$

Найти:
Смещение (координату) $x$, при котором $F_x = -22,5 \text{ мН}$.

Решение:
При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется. Она равна максимальной кинетической энергии, которая достигается в положении равновесия ($x=0$), и равна максимальной потенциальной энергии, которая достигается при максимальном смещении ($x = x_{max}$).
Полная энергия системы: $W = (W_к)_{max} = (W_п)_{max}$.
Максимальная потенциальная энергия пружинного маятника определяется формулой:
$(W_п)_{max} = \frac{k x_{max}^2}{2}$, где $k$ – жесткость пружины.
Приравнивая максимальную кинетическую и максимальную потенциальную энергии, получим:
$(W_к)_{max} = \frac{k x_{max}^2}{2}$
Из этого соотношения выразим жесткость пружины $k$:
$k = \frac{2 (W_к)_{max}}{x_{max}^2}$
Подставим числовые значения в системе СИ:
$k = \frac{2 \cdot 0,30 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{(2,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2} = \frac{0,60 \cdot 10^{-3}}{4,0 \cdot 10^{-4}} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 0,15 \cdot 10^1 \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 1,5 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
Равнодействующая сила, действующая на шарик при гармонических колебаниях, является возвращающей силой и подчиняется закону Гука:
$F_x = -kx$
где $x$ – смещение шарика от положения равновесия.
Нам нужно найти смещение $x$, при котором сила $F_x = -22,5 \text{ мН}$. Выразим $x$ из этой формулы:
$x = -\frac{F_x}{k}$
Подставим известные значения:
$x = -\frac{-22,5 \cdot 10^{-3} \text{ Н}}{1,5 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = \frac{22,5}{1,5} \cdot 10^{-3} \text{ м} = 15 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
Переведем результат в сантиметры для удобства сравнения с амплитудой:
$x = 15 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1,5 \text{ см}$

Ответ: смещение от положения равновесия составляет $1,5 \text{ см}$ (или координата $x=1,5 \text{ см}$).