Номер 33, страница 18 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

33. Шарик, подвешенный на нити, совершает гармонические колебания. На рисунке 16 показаны положение шарика и направление скорости его движения в некоторый момент времени $t_0$. В крайних положениях нить отклоняется от вертикали на угол $\alpha = \frac{\pi}{10}$ рад. (Этот угол считайте малым: $\sin \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10}$.)

Определите:

а) фазу колебаний, когда шарик придет в точку 3, если в точке 2 фаза колебаний шарика равна нулю;

б)период колебаний шарика, если в точке 2 его угловая скорость $\omega = \pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$.

Рис. 16

Дано:

$α = \frac{\pi}{10}$ рад

а) $\phi_2 = 0$

б) $\omega_{max} = \pi$ рад/с

Найти:

а) $\phi_3$ - ?

б) $T$ - ?

Решение:

а) Гармонические колебания можно описать уравнением $x(t) = A \sin(\phi(t))$, где $x$ – смещение, $A$ – амплитуда, а $\phi(t)$ – фаза колебаний. В данном случае рассматриваются угловые колебания, поэтому уравнение имеет вид $\theta(t) = \alpha \sin(\phi(t))$, где $\theta$ – угловое смещение, а $\alpha$ – его амплитуда.

Точка 2 является положением равновесия, где угловое смещение равно нулю: $\theta_2 = 0$. По условию, в этой точке фаза колебаний равна нулю: $\phi_2 = 0$.

Точка 3 является крайним положением, где угловое смещение максимально и равно амплитуде: $\theta_3 = \alpha$.

Подставим значения для точки 3 в уравнение колебаний:

$\alpha = \alpha \sin(\phi_3)$

Отсюда следует, что $\sin(\phi_3) = 1$.

Наименьшее положительное значение фазы, удовлетворяющее этому условию, равно $\phi_3 = \frac{\pi}{2}$ рад.

Также можно рассуждать иначе. Перемещение маятника из положения равновесия (точка 2) в крайнее положение (точка 3) занимает четверть полного периода колебаний. Полное колебание соответствует изменению фазы на $2\pi$. Следовательно, за четверть периода фаза изменится на $\Delta\phi = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Тогда фаза в точке 3 будет равна: $\phi_3 = \phi_2 + \Delta\phi = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ рад.

Ответ: фаза колебаний в точке 3 равна $\frac{\pi}{2}$ рад.

б) Угловое смещение шарика при гармонических колебаниях описывается уравнением $\theta(t) = \alpha \sin(\omega_c t + \phi_0)$, где $\alpha = \frac{\pi}{10}$ рад – амплитуда углового смещения, а $\omega_c$ – циклическая (угловая) частота колебаний.

Угловая скорость шарика – это первая производная от углового смещения по времени:

$\omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = \alpha \omega_c \cos(\omega_c t + \phi_0)$

Максимальное значение угловая скорость принимает при прохождении положения равновесия (точка 2), когда $\cos(\omega_c t + \phi_0) = \pm 1$. Амплитуда угловой скорости равна:

$\omega_{max} = \alpha \omega_c$

По условию, в точке 2 угловая скорость равна $\omega_{max} = \pi$ рад/с. Используя это и известную амплитуду $\alpha$, найдем циклическую частоту колебаний $\omega_c$:

$\omega_c = \frac{\omega_{max}}{\alpha} = \frac{\pi \text{ рад/с}}{\frac{\pi}{10} \text{ рад}} = 10$ рад/с

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega_c}$

Подставим найденное значение $\omega_c$:

$T = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$ c

Ответ: период колебаний шарика равен $\frac{\pi}{5}$ с.