Номер 30, страница 16 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

30. *Два одинаковых шарика совершают гармонические колебания вдоль оси $Ox$. На рисунке 12 представлены графики зависимости координаты шариков от времени. Определите, во сколько раз отличаются:

а) модули максимальных скоростей шариков;

б) модули максимальных ускорений шариков;

в) максимальные кинетические энергии шариков.

Рис. 12

Дано:

Два одинаковых шарика, следовательно, их массы равны $m_1 = m_2 = m$.

Графики гармонических колебаний шариков $x(t)$.

Найти:

а) $\frac{v_{max,1}}{v_{max,2}}$

б) $\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}}$

в) $\frac{K_{max,1}}{K_{max,2}}$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота.

Проанализируем данные, представленные на графике. Обозначим одну клетку по оси ординат (координата $x$) как $x_0$, а одну клетку по оси абсцисс (время $t$) как $t_0$.

Для первого шарика (график 1):

Амплитуда колебаний $A_1$ (максимальное отклонение от положения равновесия) составляет 3 клетки: $A_1 = 3x_0$.

Период колебаний $T_1$ (время одного полного колебания) составляет 4 клетки: $T_1 = 4t_0$.

Для второго шарика (график 2):

Амплитуда колебаний $A_2$ составляет 1 клетку: $A_2 = 1x_0$.

Период колебаний $T_2$ также составляет 4 клетки (например, расстояние по оси времени между двумя соседними максимумами): $T_2 = 4t_0$.

Из анализа графиков следует, что периоды колебаний шариков одинаковы ($T_1 = T_2 = T$), а значит, равны и их циклические частоты, так как $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Следовательно, $\omega_1 = \omega_2 = \omega$.

Отношение амплитуд колебаний шариков равно: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{3x_0}{1x_0} = 3$.

Скорость тела при гармонических колебаниях является производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$. Максимальная скорость по модулю равна $v_{max} = A\omega$.

Ускорение является производной от скорости по времени: $a(t) = v'(t)$. Максимальное ускорение по модулю равно $a_{max} = A\omega^2$.

Кинетическая энергия тела определяется формулой $K = \frac{mv^2}{2}$. Максимальная кинетическая энергия достигается при максимальной скорости: $K_{max} = \frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{m(A\omega)^2}{2} = \frac{mA^2\omega^2}{2}$.

Теперь можем найти искомые отношения.

а) модули максимальных скоростей шариков

Отношение модулей максимальных скоростей первого и второго шариков:

$\frac{v_{max,1}}{v_{max,2}} = \frac{A_1 \omega_1}{A_2 \omega_2}$

Поскольку $\omega_1 = \omega_2$, отношение скоростей равно отношению амплитуд:

$\frac{v_{max,1}}{v_{max,2}} = \frac{A_1}{A_2} = 3$

Ответ: Модуль максимальной скорости первого шарика в 3 раза больше модуля максимальной скорости второго.

б) модули максимальных ускорений шариков

Отношение модулей максимальных ускорений первого и второго шариков:

$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \frac{A_1 \omega_1^2}{A_2 \omega_2^2}$

Поскольку $\omega_1 = \omega_2$, отношение ускорений также равно отношению амплитуд:

$\frac{a_{max,1}}{a_{max,2}} = \frac{A_1}{A_2} = 3$

Ответ: Модуль максимального ускорения первого шарика в 3 раза больше модуля максимального ускорения второго.

в) максимальные кинетические энергии шариков

Отношение максимальных кинетических энергий первого и второго шариков. Так как шарики одинаковые, их массы равны ($m_1=m_2=m$).

$\frac{K_{max,1}}{K_{max,2}} = \frac{\frac{m_1 A_1^2 \omega_1^2}{2}}{\frac{m_2 A_2^2 \omega_2^2}{2}}$

Учитывая, что $m_1=m_2$ и $\omega_1 = \omega_2$, получаем:

$\frac{K_{max,1}}{K_{max,2}} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 = 3^2 = 9$

Ответ: Максимальная кинетическая энергия первого шарика в 9 раз больше максимальной кинетической энергии второго.