Номер 29, страница 16 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

29. *Маленький брусок, двигаясь вдоль оси $Ox$, совершает гармонические колебания с амплитудой $A = 5\text{ см}$. Определите модуль максимальной скорости бруска, если его модуль максимального ускорения $a_{\text{max}} = 5 \frac{\text{М}}{\text{с}^2}$.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 5 \text{ см}$

Модуль максимального ускорения, $a_{\text{max}} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$A = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Модуль максимальной скорости, $v_{\text{max}}$

Решение:

Гармонические колебания описываются уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая (круговая) частота.

Скорость $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени:

$v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Модуль максимальной скорости (амплитуда скорости) достигается, когда синус равен $\pm1$:

$v_{\text{max}} = A\omega$

Ускорение $a(t)$ является первой производной от скорости $v(t)$ по времени:

$a(t) = v'(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$

Модуль максимального ускорения (амплитуда ускорения) достигается, когда косинус равен $\pm1$:

$a_{\text{max}} = A\omega^2$

Мы имеем систему из двух уравнений:

$v_{\text{max}} = A\omega$ (1)

$a_{\text{max}} = A\omega^2$ (2)

Из уравнения (2) выразим циклическую частоту $\omega$:

$\omega^2 = \frac{a_{\text{max}}}{A} \implies \omega = \sqrt{\frac{a_{\text{max}}}{A}}$

Подставим полученное выражение для $\omega$ в уравнение (1):

$v_{\text{max}} = A \sqrt{\frac{a_{\text{max}}}{A}} = \sqrt{A^2 \frac{a_{\text{max}}}{A}} = \sqrt{A \cdot a_{\text{max}}}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения в итоговую формулу:

$v_{\text{max}} = \sqrt{0.05 \text{ м} \cdot 5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \sqrt{0.25 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 0.5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль максимальной скорости бруска равен $0.5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.