Номер 25, страница 15 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

25. На рисунке 11 представлен график гармонических колебаний груза на пружине.

1) *Постройте графики зависимости проекции скорости и проекции ускорения груза на ось $Ox$ от времени.

2) Найдите смещение (координату) колеблющегося груза: а) в моменты времени $t_0 = 0,0$ с, $t_1 = 0,10$ с, $t_2 = 0,25$ с; б) при фазах $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$ рад, $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$ рад, $\varphi_3 = \frac{3\pi}{2}$ рад.

Рис. 11

Дано:

График гармонических колебаний $x(t)$.

Из графика:

Амплитуда $A = 15$ см

Период $T = 0,4$ с

$t_0 = 0,0$ с, $t_1 = 0,10$ с, $t_2 = 0,25$ с

$\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$ рад, $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$ рад, $\varphi_3 = \frac{3\pi}{2}$ рад

$A = 15 \text{ см} = 0,15 \text{ м}$

Найти:

1) Построить графики $v_x(t)$ и $a_x(t)$.

2) $x(t_0), x(t_1), x(t_2)$ - ?

3) $x(\varphi_1), x(\varphi_2), x(\varphi_3)$ - ?

Решение:

Из графика видно, что колебания происходят по закону синуса, так как при $t=0$ смещение $x=0$, а начальная скорость направлена в положительную сторону оси $Ox$. Уравнение движения имеет вид: $x(t) = A \sin(\omega t)$.

Определим параметры колебаний из графика:

Амплитуда $A = 15$ см.

Период $T = 0,4$ с.

Циклическая частота $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,4 \text{ с}} = 5\pi$ рад/с.

Таким образом, уравнение зависимости смещения от времени:

$x(t) = 15 \sin(5\pi t)$ (см).

1) *Постройте графики зависимости проекции скорости и проекции ускорения груза на ось Ox от времени.

Проекция скорости $v_x(t)$ является первой производной от координаты по времени $x(t)$:

$v_x(t) = x'(t) = (15 \sin(5\pi t))' = 15 \cdot 5\pi \cos(5\pi t) = 75\pi \cos(5\pi t)$ (см/с).

Это гармоническое колебание по закону косинуса. Амплитуда скорости $v_{max} = 75\pi \approx 235,6$ см/с.

Проекция ускорения $a_x(t)$ является второй производной от координаты по времени $x(t)$ (или первой производной от скорости):

$a_x(t) = v_x'(t) = (75\pi \cos(5\pi t))' = -75\pi \cdot 5\pi \sin(5\pi t) = -375\pi^2 \sin(5\pi t)$ (см/с²).

Это гармоническое колебание по закону "минус синус" (в противофазе со смещением). Амплитуда ускорения $a_{max} = 375\pi^2 \approx 3698,5$ см/с².

Для построения графиков определим их ключевые точки:

График скорости $v_x(t)$ (косинусоида):
- при $t=0$ с, $v_x = 75\pi$ см/с (максимум)
- при $t=0,1$ с, $v_x = 0$ см/с
- при $t=0,2$ с, $v_x = -75\pi$ см/с (минимум)
- при $t=0,3$ с, $v_x = 0$ см/с
- при $t=0,4$ с, $v_x = 75\pi$ см/с

График ускорения $a_x(t)$ (перевернутая синусоида):
- при $t=0$ с, $a_x = 0$ см/с²
- при $t=0,1$ с, $a_x = -375\pi^2$ см/с² (минимум)
- при $t=0,2$ с, $a_x = 0$ см/с²
- при $t=0,3$ с, $a_x = 375\pi^2$ см/с² (максимум)
- при $t=0,4$ с, $a_x = 0$ см/с²

Ответ: График зависимости скорости от времени $v_x(t)$ — это косинусоида с амплитудой $v_{max} = 75\pi$ см/с и периодом $T=0,4$ с. График зависимости ускорения от времени $a_x(t)$ — это синусоида, находящаяся в противофазе с графиком смещения (перевернутая синусоида), с амплитудой $a_{max} = 375\pi^2$ см/с² и тем же периодом $T=0,4$ с.

2) Найдите смещение (координату) колеблющегося груза:

а) в моменты времени $t_0 = 0,0$ с, $t_1 = 0,10$ с, $t_2 = 0,25$ с;

Воспользуемся уравнением движения $x(t) = 15 \sin(5\pi t)$ (см).

При $t_0 = 0,0$ с:

$x(0) = 15 \sin(5\pi \cdot 0) = 15 \sin(0) = 0$ см.

При $t_1 = 0,10$ с:

$x(0,1) = 15 \sin(5\pi \cdot 0,1) = 15 \sin(\frac{\pi}{2}) = 15 \cdot 1 = 15$ см.

При $t_2 = 0,25$ с:

$x(0,25) = 15 \sin(5\pi \cdot 0,25) = 15 \sin(\frac{5\pi}{4}) = 15 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -7,5\sqrt{2} \approx -10,6$ см.

Ответ: $x(0 \text{ с}) = 0$ см; $x(0,1 \text{ с}) = 15$ см; $x(0,25 \text{ с}) = -7,5\sqrt{2} \approx -10,6$ см.

б) при фазах $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$ рад, $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$ рад, $\varphi_3 = \frac{3\pi}{2}$ рад.

Фаза колебаний $\varphi = \omega t$. Уравнение смещения можно записать в виде $x(\varphi) = A \sin(\varphi)$.

При $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$ рад:

$x = 15 \sin(\frac{\pi}{6}) = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7,5$ см.

При $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$ рад:

$x = 15 \sin(\frac{\pi}{3}) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7,5\sqrt{3} \approx 13,0$ см.

При $\varphi_3 = \frac{3\pi}{2}$ рад:

$x = 15 \sin(\frac{3\pi}{2}) = 15 \cdot (-1) = -15$ см.

Ответ: при $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$ рад смещение $x = 7,5$ см; при $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$ рад смещение $x = 7,5\sqrt{3} \approx 13,0$ см; при $\varphi_3 = \frac{3\pi}{2}$ рад смещение $x = -15$ см.