Номер 20, страница 13 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

20. Колебания пружинного маятника, описываемые уравнением $x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$, начались в момент времени $t_0 = 1,0 \text{ с}$. На рисунке 5 показан график зависимости координаты маятника от времени. Определите начальную фазу колебаний.

Рис. 5

Дано:

Уравнение колебаний: $x = A\cos(\omega t + \phi_0)$

График зависимости координаты от времени $x(t)$.

Найти:

$\phi_0$ - ?

Решение:

1. Определим по графику период колебаний $T$. Период — это время одного полного колебания. Из графика видно, что маятник совершает одно полное колебание за время от $t_1 = 1$ с до $t_2 = 5$ с (например, от прохождения положения равновесия с положительной скоростью до следующего такого же момента).

Таким образом, период колебаний равен:

$T = t_2 - t_1 = 5 \text{ с} - 1 \text{ с} = 4 \text{ с}$.

2. Зная период, найдем циклическую (угловую) частоту колебаний $\omega$ по формуле:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

3. Теперь уравнение колебаний можно записать в виде: $x(t) = A\cos(\frac{\pi}{2} t + \phi_0)$.

4. Для определения начальной фазы $\phi_0$ проанализируем график. График представляет собой гармоническое колебание. В момент времени $t=1$ с координата $x=0$, и маятник движется в положительном направлении оси $x$ (график идет вверх). Такое поведение соответствует функции синуса, смещенной по оси времени. Следовательно, зависимость координаты от времени можно описать уравнением вида:

$x(t) = A\sin(\omega(t - 1))$.

Подставим найденное значение $\omega$:

$x(t) = A\sin(\frac{\pi}{2}(t - 1))$.

5. Преобразуем это выражение к виду, заданному в условии, $x = A\cos(\omega t + \phi_0)$, используя тригонометрическую формулу приведения $\sin\alpha = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$:

$x(t) = A\cos\left(\frac{\pi}{2}(t-1) - \frac{\pi}{2}\right)$

Раскроем скобки в аргументе косинуса:

$x(t) = A\cos\left(\frac{\pi}{2}t - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\right) = A\cos\left(\frac{\pi}{2}t - \pi\right)$.

6. Сравнивая полученное уравнение $x(t) = A\cos\left(\frac{\pi}{2}t - \pi\right)$ с исходным уравнением $x(t) = A\cos(\frac{\pi}{2} t + \phi_0)$, находим искомую начальную фазу:

$\phi_0 = -\pi$ рад.

Стоит отметить, что из-за периодичности косинуса ($\cos(\alpha) = \cos(\alpha + 2\pi k)$) правильным ответом также будет, например, $\phi_0 = \pi$ рад, так как $\cos(\alpha - \pi) = \cos(\alpha + \pi)$. Обычно начальную фазу выбирают из промежутка $(-\pi, \pi]$.

Ответ: начальная фаза колебаний $\phi_0 = -\pi$ рад.