Номер 13, страница 10 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

13. Координата маленького шарика, совершающего гармонические колебания вдоль оси $Ox$, изменяется по закону: $x(t)=A\cos(Bt)$, где $A=50 \text{ мм}$, $B=2\pi\frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите, считая с момента начала отсчета времени:

а) минимальный промежуток времени, когда координата шарика станет $x=0 \text{ м}$;

б) проекцию перемещения шарика на ось $Ox$ за время $t_1=0,75 \text{ с}$;

в) путь шарика за время $t_2=1,5 \text{ с}$.

Дано:

$x(t) = A\cos(Bt)$

$A = 50$ мм

$B = 2\pi$ рад/с

$t_1 = 0,75$ с

$t_2 = 1,5$ с

Перевод в СИ:

$A = 50 \cdot 10^{-3}$ м $ = 0,05$ м

Найти:

а) $t_{min}$ (при $x=0$) - ?

б) $\Delta x_1$ (за время $t_1$) - ?

в) $S_2$ (за время $t_2$) - ?

Решение:

Уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ - амплитуда, $\omega$ - циклическая частота, $\phi_0$ - начальная фаза. В данном случае уравнение $x(t) = A\cos(Bt)$, следовательно, амплитуда $A = 0,05$ м, циклическая частота $\omega = B = 2\pi$ рад/с, а начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Найдем период колебаний $T$ по формуле $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ с.

а) минимальный промежуток времени, когда координата шарика станет $x=0$ м

Колебания начинаются в момент времени $t=0$ из положения $x(0) = A\cos(B \cdot 0) = A\cos(0) = A$, то есть из крайнего правого положения. Шарик впервые достигнет положения равновесия ($x=0$), пройдя четверть периода.

Подставим $x=0$ в уравнение движения: $0 = A\cos(Bt)$.

Так как $A \neq 0$, то $\cos(Bt) = 0$.

Общее решение этого уравнения: $Bt = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n=0, 1, 2, ...$

$t = \frac{1}{B}(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \frac{1}{2\pi}(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$.

Минимальное положительное значение времени $t_{min}$ соответствует $n=0$:

$t_{min} = \frac{1}{4} = 0,25$ с.

Также можно найти это время как четверть периода: $t_{min} = \frac{T}{4} = \frac{1 \text{ с}}{4} = 0,25$ с.

Ответ: 0,25 с.

б) проекцию перемещения шарика на ось $Ox$ за время $t_1 = 0,75$ с

Проекция перемещения $\Delta x$ равна разности конечной и начальной координат: $\Delta x_1 = x(t_1) - x(0)$.

Начальная координата при $t=0$: $x(0) = A\cos(B \cdot 0) = A = 0,05$ м.

Конечная координата при $t_1 = 0,75$ с (что составляет $\frac{3}{4}T$):

$x(t_1) = A\cos(B t_1) = 0,05 \cdot \cos(2\pi \cdot 0,75) = 0,05 \cdot \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0,05 \cdot 0 = 0$ м.

Проекция перемещения:

$\Delta x_1 = 0 - 0,05 = -0,05$ м.

Ответ: -0,05 м.

в) путь шарика за время $t_2 = 1,5$ с

Время движения $t_2 = 1,5$ с. Период колебаний $T=1$ с. Следовательно, время движения составляет $t_2 = 1,5 T$.

За один полный период ($T$) шарик проходит путь, равный четырем амплитудам: $S_T = 4A$.

За полтора периода ($1,5 T$) шарик совершит одно полное колебание и еще половину колебания. Путь за полтора периода будет равен:

$S_2 = 1,5 \cdot S_T = 1,5 \cdot 4A = 6A$.

Рассчитаем значение пути:

$S_2 = 6 \cdot A = 6 \cdot 0,05 = 0,3$ м.

Ответ: 0,3 м.