Номер 11, страница 10 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

11. Гиря, подвешенная к эластичной ленте, совершает гармонические колебания вдоль оси Oy по закону:

$y(t) = A\cos(Bt)$, где $A = 0,04$ м, $B = \frac{2\pi}{3} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите:

a) амплитуду колебаний;

б) циклическую частоту;

в) начальную фазу;

г) начальную координату;

д) координату гири в момент времени $t = 3$ с;

е) число колебаний, совершенных гирей за промежуток времени $\Delta t = 15$ с.

Дано:

Уравнение гармонических колебаний: $y(t) = A \cos(Bt)$

Амплитуда: $A = 0,04$ м

Коэффициент: $B = \frac{2\pi}{3}$ рад/с

Момент времени для нахождения координаты: $t = 3$ с

Промежуток времени для нахождения числа колебаний: $\Delta t = 15$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Амплитуду колебаний $A$

б) Циклическую частоту $\omega$

в) Начальную фазу $\phi_0$

г) Начальную координату $y_0$

д) Координату гири $y(t)$ при $t=3$ с

е) Число колебаний $N$ за $\Delta t = 15$ с

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $y(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая (угловая) частота, $\phi_0$ – начальная фаза.

В данном случае уравнение имеет вид $y(t) = A \cos(Bt)$, где $A = 0,04$ м и $B = \frac{2\pi}{3}$ рад/с.

а) амплитуду колебаний

Амплитуда колебаний — это максимальное отклонение от положения равновесия. В уравнении $y(t) = A \cos(Bt)$ амплитуда представлена коэффициентом $A$. Из условия задачи известно, что $A = 0,04$ м.

Ответ: 0,04 м.

б) циклическую частоту

Циклическая (или угловая) частота в общем уравнении обозначается как $\omega$. Сравнивая общее уравнение с данным $y(t) = A \cos(Bt)$, видим, что роль циклической частоты выполняет коэффициент $B$.

$\omega = B = \frac{2\pi}{3}$ рад/с.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$ рад/с.

в) начальную фазу

Начальная фаза $\phi_0$ — это фаза колебаний в начальный момент времени $t=0$. В данном уравнении $y(t) = A \cos(Bt)$ отсутствует слагаемое, соответствующее начальной фазе. Это означает, что она равна нулю.

$\phi_0 = 0$ рад.

Ответ: 0 рад.

г) начальную координату

Начальная координата — это координата гири в момент времени $t=0$. Для ее нахождения подставим $t=0$ в уравнение колебаний:

$y(0) = A \cos(B \cdot 0) = A \cos(0)$.

Поскольку $\cos(0) = 1$, начальная координата равна амплитуде:

$y(0) = A = 0,04$ м.

Ответ: 0,04 м.

д) координату гири в момент времени t = 3 с

Для нахождения координаты в заданный момент времени подставим $t = 3$ с в уравнение колебаний:

$y(3) = A \cos(B \cdot 3) = 0,04 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3} \cdot 3) = 0,04 \cdot \cos(2\pi)$.

Так как $\cos(2\pi) = 1$, получаем:

$y(3) = 0,04 \cdot 1 = 0,04$ м.

Ответ: 0,04 м.

е) число колебаний, совершенных гирей за промежуток времени Δt = 15 с

Число колебаний $N$ за промежуток времени $\Delta t$ можно найти как отношение этого промежутка к периоду одного колебания $T$: $N = \frac{\Delta t}{T}$.

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ (в нашем случае B) соотношением: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Сначала вычислим период:

$T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{2\pi/3} = 3$ с.

Теперь можем найти число колебаний:

$N = \frac{\Delta t}{T} = \frac{15 \text{ с}}{3 \text{ с}} = 5$.

Ответ: 5.