Номер 17, страница 11 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

17. Брусок совершает гармонические колебания вдоль оси $Ox$ с частотой $\nu = 0,50 \text{ Гц}$ и амплитудой $x_{\text{max}} = 10 \text{ см}$. В начальный момент времени брусок двигался в направлении оси $Ox$, а его координата была $x_0 = 0 \text{ м}$. Напишите уравнение зависимости:

а) координаты бруска от времени;

б) *проекции скорости на ось $Ox$ колебаний бруска от времени;

в) *проекции ускорения на ось $Ox$ колебаний бруска от времени. Определите путь и модуль перемещения бруска за полпериода колебаний, считая от начала отсчета времени.

Дано:

$ν = 0,50$ Гц

$x_{max} = 10$ см

$x_0 = x(0) = 0$ м

$v_x(0) > 0$

$x_{max} = 10 \text{ см} = 0,10 \text{ м}$

Найти:

а) $x(t) - ?$

б) $v_x(t) - ?$

в) $a_x(t) - ?$

Путь $S$ и модуль перемещения $|\Delta x|$ за время $t = T/2$.

Решение:

Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = x_{max} \sin(\omega t + \phi_0)$.

Найдем циклическую (угловую) частоту $\omega$ и период колебаний $T$:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 0,50 \text{ Гц} = \pi$ рад/с.

$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{0,50 \text{ Гц}} = 2,0$ с.

а) координаты бруска от времени

Для определения начальной фазы $\phi_0$ воспользуемся начальными условиями. В начальный момент времени $t=0$ координата бруска $x(0) = 0$.

$x(0) = x_{max} \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0) = x_{max} \sin(\phi_0) = 0$.

Отсюда следует, что $\sin(\phi_0) = 0$, то есть $\phi_0 = 0$ или $\phi_0 = \pi$.

Чтобы выбрать правильное значение, найдем уравнение для проекции скорости:

$v_x(t) = x'(t) = x_{max} \omega \cos(\omega t + \phi_0)$.

При $t=0$ скорость $v_x(0) = x_{max} \omega \cos(\phi_0)$. По условию, брусок движется в направлении оси $Ox$, значит $v_x(0) > 0$.

Так как $x_{max} > 0$ и $\omega > 0$, то должно выполняться условие $\cos(\phi_0) > 0$.

Этому условию удовлетворяет $\phi_0=0$, так как $\cos(0)=1 > 0$.

Таким образом, начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Подставим найденные значения в уравнение колебаний:

$x(t) = 0,10 \sin(\pi t)$ (м).

Ответ: $x(t) = 0,10 \sin(\pi t)$.

б) проекции скорости на ось $Ox$ колебаний бруска от времени

Проекция скорости является первой производной координаты по времени:

$v_x(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(0,10 \sin(\pi t)) = 0,10 \cdot \pi \cdot \cos(\pi t) = 0,1\pi \cos(\pi t)$ (м/с).

Ответ: $v_x(t) = 0,1\pi \cos(\pi t)$.

в) проекции ускорения на ось $Ox$ колебаний бруска от времени

Проекция ускорения является первой производной скорости по времени:

$a_x(t) = v_x'(t) = \frac{d}{dt}(0,1\pi \cos(\pi t)) = -0,1\pi \cdot \pi \cdot \sin(\pi t) = -0,1\pi^2 \sin(\pi t)$ (м/с²).

Ответ: $a_x(t) = -0,1\pi^2 \sin(\pi t)$.

Определение пути и модуля перемещения за полпериода

Рассмотрим движение бруска за время, равное половине периода, $t = T/2 = 2,0 / 2 = 1,0$ с.

Модуль перемещения равен модулю разности конечной и начальной координат:

Начальное положение при $t_1=0$: $x(0) = 0,10 \sin(\pi \cdot 0) = 0$ м.

Конечное положение при $t_2=T/2=1,0$ с: $x(1,0) = 0,10 \sin(\pi \cdot 1,0) = 0$ м.

Модуль перемещения: $|\Delta x| = |x(t_2) - x(t_1)| = |0 - 0| = 0$ м.

Путь — это длина траектории. За первую четверть периода (от $t=0$ до $t=T/4=0,5$ с) брусок движется из положения равновесия ($x=0$) до максимального отклонения ($x=x_{max}=0,10$ м). Пройденный путь за это время равен $S_1 = x_{max} = 0,10$ м.

За вторую четверть периода (от $t=T/4=0,5$ с до $t=T/2=1,0$ с) брусок движется от максимального отклонения ($x=x_{max}$) обратно в положение равновесия ($x=0$). Пройденный путь за это время также равен $S_2 = x_{max} = 0,10$ м.

Суммарный путь за полпериода: $S = S_1 + S_2 = x_{max} + x_{max} = 2x_{max} = 2 \cdot 0,10 \text{ м} = 0,20$ м.

Ответ: Путь за полпериода $S = 0,20$ м, модуль перемещения $|\Delta x| = 0$ м.