Номер 12, страница 10 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

12. Цилиндр, подвешенный к пружине, совершает гармонические колебания вдоль оси Oy по закону:

$y(t) = Asin(Bt + C)$, где $A = 12$ см, $B = \pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$ и $C = \frac{\pi}{6}$ рад.

Определите:

а) координаты цилиндра в моменты времени $t_1 = 0$ с и $t_2 = 1$ с;

б) фазы колебаний цилиндра в моменты времени $t_1 = 0,5$ с и $t_2 = 5$ с;

в) проекцию перемещения цилиндра на ось Oy за промежуток времени от $t_1 = \frac{1}{3}$ с до $t_2 = \frac{4}{3}$ с.

Дано:

Закон гармонических колебаний: $y(t) = A \sin(Bt + C)$
Амплитуда: $A = 12 \text{ см}$
Циклическая частота: $B = \pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$
Начальная фаза: $C = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Переведем амплитуду в систему СИ:
$A = 12 \text{ см} = 0,12 \text{ м}$

Найти:

а) Координаты цилиндра $y(t_1)$ и $y(t_2)$ в моменты времени $t_1 = 0 \text{ с}$ и $t_2 = 1 \text{ с}$.

б) Фазы колебаний $\Phi(t_1)$ и $\Phi(t_2)$ в моменты времени $t_1 = 0,5 \text{ с}$ и $t_2 = 5 \text{ с}$.

в) Проекцию перемещения $\Delta y$ на ось $Oy$ за промежуток времени от $t_1 = \frac{1}{3} \text{ с}$ до $t_2 = \frac{4}{3} \text{ с}$.

Решение:

Подставим известные значения в уравнение колебаний:

$y(t) = 0,12 \sin(\pi t + \frac{\pi}{6})$

а) Определим координаты цилиндра в заданные моменты времени.

При $t_1 = 0 \text{ с}$:

$y(0) = 0,12 \sin(\pi \cdot 0 + \frac{\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{\pi}{6})$

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то:

$y(0) = 0,12 \cdot \frac{1}{2} = 0,06 \text{ м}$

При $t_2 = 1 \text{ с}$:

$y(1) = 0,12 \sin(\pi \cdot 1 + \frac{\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{7\pi}{6})$

Так как $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, то:

$y(1) = 0,12 \cdot (-\frac{1}{2}) = -0,06 \text{ м}$

Ответ: Координаты цилиндра в моменты времени $t_1 = 0 \text{ с}$ и $t_2 = 1 \text{ с}$ равны $y(0) = 0,06 \text{ м}$ и $y(1) = -0,06 \text{ м}$ соответственно.

б) Фаза колебаний определяется выражением $\Phi(t) = Bt + C$.

При $t_1 = 0,5 \text{ с}$:

$\Phi(0,5) = \pi \cdot 0,5 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}$

При $t_2 = 5 \text{ с}$:

$\Phi(5) = \pi \cdot 5 + \frac{\pi}{6} = \frac{30\pi + \pi}{6} = \frac{31\pi}{6} \text{ рад}$

Ответ: Фазы колебаний в моменты времени $t_1 = 0,5 \text{ с}$ и $t_2 = 5 \text{ с}$ равны $\Phi(0,5) = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}$ и $\Phi(5) = \frac{31\pi}{6} \text{ рад}$ соответственно.

в) Проекция перемещения цилиндра на ось $Oy$ равна разности координат в конечный и начальный моменты времени: $\Delta y = y(t_2) - y(t_1)$.

Найдем координату в начальный момент времени $t_1 = \frac{1}{3} \text{ с}$:

$y(\frac{1}{3}) = 0,12 \sin(\pi \cdot \frac{1}{3} + \frac{\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{2\pi+\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{3\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{\pi}{2})$

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то:

$y(\frac{1}{3}) = 0,12 \cdot 1 = 0,12 \text{ м}$

Найдем координату в конечный момент времени $t_2 = \frac{4}{3} \text{ с}$:

$y(\frac{4}{3}) = 0,12 \sin(\pi \cdot \frac{4}{3} + \frac{\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{8\pi+\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{9\pi}{6}) = 0,12 \sin(\frac{3\pi}{2})$

Так как $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, то:

$y(\frac{4}{3}) = 0,12 \cdot (-1) = -0,12 \text{ м}$

Теперь вычислим проекцию перемещения:

$\Delta y = y(\frac{4}{3}) - y(\frac{1}{3}) = -0,12 \text{ м} - 0,12 \text{ м} = -0,24 \text{ м}$

Ответ: Проекция перемещения цилиндра на ось $Oy$ за указанный промежуток времени равна $-0,24 \text{ м}$.