Номер 18, страница 12 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

18. Кубик массой $m = 400$ г совершает гармонические колебания вдоль оси $Ox$ с периодом $T = 1,0$ с и амплитудой $x_{\max} = 40$ мм. В начальный момент времени координата кубика $x_0 = x_{\max}$. Координата положения равновесия кубика $x = 0$ м. Напишите:

а) кинематический закон гармонических колебаний кубика;

б) *уравнение зависимости проекции импульса кубика на ось $Ox$ от времени;

в) *уравнение зависимости проекции равнодействующей сил, действующих на кубик, на ось $Ox$ от времени.

Определите путь и проекцию перемещения кубика за промежуток времени $\Delta t = 0,75$ с, считая от начала отсчета времени.

Дано:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$

$T = 1.0 \text{ с}$

$x_{max} = 40 \text{ мм} = 0.04 \text{ м}$

$x_0 = x_{max}$ (при $t = 0$)

$\Delta t = 0.75 \text{ с}$

Найти:

а) $x(t)$ — ?

б) $p_x(t)$ — ?

в) $F_x(t)$ — ?

$S$ и $\Delta r_x$ за $\Delta t$ — ?

Решение:

а) кинематический закон гармонических колебаний кубика

Общий вид кинематического закона гармонических колебаний:

$x(t) = x_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$,

где $x_{max}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Амплитуда дана в условии: $x_{max} = 0.04 \text{ м}$.

Циклическую частоту найдем через период колебаний $T$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1.0} = 2\pi \text{ рад/с}$.

Начальную фазу $\phi_0$ определим из начальных условий. В момент времени $t = 0$ координата кубика $x_0 = x_{max}$.

Подставим эти значения в общее уравнение:

$x(0) = x_{max} \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0) = x_{max} \cos(\phi_0)$.

Так как $x(0) = x_{max}$, получаем $x_{max} = x_{max} \cos(\phi_0)$, откуда $\cos(\phi_0) = 1$. Следовательно, начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Подставив все найденные значения, получим кинематический закон движения кубика:

$x(t) = 0.04 \cos(2\pi t)$.

Ответ: $x(t) = 0.04 \cos(2\pi t)$ (все величины в СИ).

б)* уравнение зависимости проекции импульса кубика на ось Ox от времени

Проекция импульса на ось Ox определяется формулой $p_x = mv_x$, где $v_x$ — проекция скорости на ось Ox.

Проекцию скорости найдем как первую производную от координаты по времени:

$v_x(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(0.04 \cos(2\pi t)) = -0.04 \cdot 2\pi \sin(2\pi t) = -0.08\pi \sin(2\pi t)$.

Теперь найдем уравнение зависимости проекции импульса от времени:

$p_x(t) = m \cdot v_x(t) = 0.4 \cdot (-0.08\pi \sin(2\pi t)) = -0.032\pi \sin(2\pi t)$.

Ответ: $p_x(t) = -0.032\pi \sin(2\pi t)$ (все величины в СИ).

в)* уравнение зависимости проекции равнодействующей сил, действующих на кубик, на ось Ox от времени

Согласно второму закону Ньютона, проекция равнодействующей сил на ось Ox равна $F_x = ma_x$, где $a_x$ — проекция ускорения на ось Ox.

Проекцию ускорения найдем как первую производную от проекции скорости по времени:

$a_x(t) = v_x'(t) = \frac{d}{dt}(-0.08\pi \sin(2\pi t)) = -0.08\pi \cdot 2\pi \cos(2\pi t) = -0.16\pi^2 \cos(2\pi t)$.

Также можно использовать формулу $a_x = -\omega^2 x$.

$a_x(t) = -(2\pi)^2 \cdot 0.04 \cos(2\pi t) = -4\pi^2 \cdot 0.04 \cos(2\pi t) = -0.16\pi^2 \cos(2\pi t)$.

Теперь найдем уравнение зависимости проекции равнодействующей сил от времени:

$F_x(t) = m \cdot a_x(t) = 0.4 \cdot (-0.16\pi^2 \cos(2\pi t)) = -0.064\pi^2 \cos(2\pi t)$.

Ответ: $F_x(t) = -0.064\pi^2 \cos(2\pi t)$ (все величины в СИ).

Определение пути и проекции перемещения за промежуток времени $\Delta t = 0.75 \text{ с}$.

Промежуток времени $\Delta t = 0.75 \text{ с}$ составляет $\frac{0.75 \text{ с}}{1.0 \text{ с}} = \frac{3}{4}$ периода колебаний ($T$).

За один полный период ($T$) тело проходит путь, равный четырем амплитудам ($4x_{max}$).

Движение начинается из точки $x_0 = x_{max}$ при $t=0$.

За первую четверть периода ($\frac{T}{4}$) кубик переместится из $x=x_{max}$ в $x=0$. Пройденный путь $S_1 = x_{max}$.

За вторую четверть периода (от $\frac{T}{4}$ до $\frac{T}{2}$) кубик переместится из $x=0$ в $x=-x_{max}$. Пройденный путь $S_2 = x_{max}$.

За третью четверть периода (от $\frac{T}{2}$ до $\frac{3T}{4}$) кубик переместится из $x=-x_{max}$ в $x=0$. Пройденный путь $S_3 = x_{max}$.

Следовательно, за время $\Delta t = \frac{3}{4}T$ кубик пройдет путь:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 3x_{max} = 3 \cdot 0.04 \text{ м} = 0.12 \text{ м}$.

Проекция перемещения $\Delta r_x$ — это разность между конечной и начальной координатами.

Начальная координата (при $t=0$): $x_{начальная} = x_0 = x_{max} = 0.04 \text{ м}$.

Конечная координата (при $t = \Delta t = 0.75 \text{ с} = \frac{3}{4}T$):

$x_{конечная} = x(0.75) = 0.04 \cos(2\pi \cdot 0.75) = 0.04 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0.04 \cdot 0 = 0 \text{ м}$.

Проекция перемещения:

$\Delta r_x = x_{конечная} - x_{начальная} = 0 - x_{max} = -0.04 \text{ м}$.

Ответ: Путь $S = 0.12 \text{ м}$, проекция перемещения $\Delta r_x = -0.04 \text{ м}$.