Номер 22, страница 14 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

22. *На рисунке 7 представлен график зависимости проекции скорости материальной точки на ось $Ox$ от времени. Определите, какой график на рисунке 8 соответствует графику:

а) зависимости координаты материальной точки от времени;

График 4

б) зависимости проекции ускорения материальной точки на ось $Ox$ от времени.

График 4

Исходный график на рисунке 7 представляет собой зависимость проекции скорости материальной точки $v_x$ от времени $t$. Движение является гармоническим колебанием. Из графика можно определить период колебаний $T$. Скорость достигает максимума в момент времени $t_1 \approx 0.5$ c, а следующего максимума она достигнет в $t_2 \approx 4.5$ c. Таким образом, период колебаний $T = t_2 - t_1 = 4.5 - 0.5 = 4$ c.

Зависимость скорости от времени можно описать уравнением гармонических колебаний, например, через косинус: $v_x(t) = V_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$. Так как максимум достигается при $t = 0.5$ с, то уравнение можно записать в виде $v_x(t) = V_{max} \cos(\omega (t - 0.5))$, где $V_{max}$ — амплитуда скорости, а $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

а) Найдём график зависимости координаты материальной точки от времени, $x(t)$.

Проекция скорости является производной от координаты по времени: $v_x(t) = x'(t)$. Соответственно, координата является первообразной (интегралом) от скорости: $x(t) = \int v_x(t) dt$.

Математически: $x(t) = \int V_{max} \cos(\frac{\pi}{2}(t - 0.5)) dt = \frac{V_{max}}{\pi/2} \sin(\frac{\pi}{2}(t - 0.5)) + C$. Функция $x(t)$ также является гармонической, но её фаза сдвинута относительно фазы скорости на $-\frac{\pi}{2}$ (график синуса отстаёт от графика косинуса).

Проанализируем связь графиков $x(t)$ и $v_x(t)$ качественно:

1. В моменты времени, когда скорость $v_x = 0$ (на рис. 7 это $t = 1.5$ c и $t = 3.5$ c), координата $x$ должна достигать своих экстремальных значений (максимума или минимума), так как тело останавливается в точках поворота.

2. В интервале времени, где $v_x > 0$ (например, от 0 до 1.5 с), координата $x$ должна возрастать.

3. В интервале времени, где $v_x < 0$ (например, от 1.5 с до 3.5 с), координата $x$ должна убывать.

4. В момент времени $t=1.5$ с скорость меняет знак с «+» на «-», следовательно, в этот момент координата достигает максимума.

5. В момент времени $t=3.5$ с скорость меняет знак с «-» на «+», следовательно, в этот момент координата достигает минимума.

Среди графиков на рисунке 8 этим условиям удовлетворяет график 3: у него максимум при $t = 1.5$ c и минимум при $t = 3.5$ c.

Ответ: График 3.

б) Найдём график зависимости проекции ускорения материальной точки на ось $Ox$ от времени, $a_x(t)$.

Проекция ускорения является производной от проекции скорости по времени: $a_x(t) = v_x'(t)$.

Математически: $a_x(t) = \frac{d}{dt} [V_{max} \cos(\frac{\pi}{2}(t - 0.5))] = -V_{max} \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}(t - 0.5))$. Функция $a_x(t)$ также является гармонической, её фаза опережает фазу скорости на $\frac{\pi}{2}$ (график ускорения является "перевёрнутым" синусом, когда скорость - косинус).

Проанализируем связь графиков $a_x(t)$ и $v_x(t)$ качественно. Ускорение $a_x$ равно тангенсу угла наклона касательной к графику $v_x(t)$.

1. В моменты времени, когда скорость $v_x$ достигает экстремумов (максимума при $t=0.5$ с и минимума при $t=2.5$ с), наклон касательной к графику $v_x(t)$ равен нулю. Следовательно, в эти моменты ускорение $a_x$ должно быть равно нулю.

2. В момент времени $t=1.5$ с график скорости имеет наибольший отрицательный наклон (скорость убывает быстрее всего). Следовательно, в этот момент ускорение $a_x$ должно быть минимальным (наибольшим по модулю и отрицательным).

3. В момент времени $t=3.5$ с график скорости имеет наибольший положительный наклон (скорость возрастает быстрее всего). Следовательно, в этот момент ускорение $a_x$ должно быть максимальным.

Среди графиков на рисунке 8 этим условиям удовлетворяет график 4: он равен нулю при $t=0.5$ с и $t=2.5$ с, имеет минимум при $t=1.5$ с и максимум при $t=3.5$ с.

Ответ: График 4.