Номер 27, страница 16 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

27.*Циклическая частота колебаний одного из шариков, совершающих гармонические колебания, $\omega_1 = 36 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$, другого — $\omega_2 = 9 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите, во сколько раз отличаются модули максимальных ускорений шариков, если амплитуды их колебаний одинаковы.

Дано:

Циклическая частота колебаний первого шарика: $\omega_1 = 36 \frac{рад}{с}$

Циклическая частота колебаний второго шарика: $\omega_2 = 9 \frac{рад}{с}$

Амплитуды колебаний шариков одинаковы: $A_1 = A_2 = A$

Найти:

Во сколько раз отличаются модули максимальных ускорений: $\frac{a_{1max}}{a_{2max}}$

Решение:

Ускорение тела, совершающего гармонические колебания, связано с его смещением $x$ от положения равновесия соотношением $a = -\omega^2 x$.

Модуль ускорения $|a| = \omega^2 |x|$ достигает своего максимального значения, когда смещение максимально, то есть равно амплитуде $A$ ($|x|_{max} = A$).

Таким образом, формула для модуля максимального ускорения имеет вид:

$a_{max} = A \omega^2$

Запишем это выражение для каждого из двух шариков:

Для первого шарика: $a_{1max} = A_1 \omega_1^2$

Для второго шарика: $a_{2max} = A_2 \omega_2^2$

Чтобы определить, во сколько раз отличаются модули максимальных ускорений, найдем их отношение. Учитывая, что по условию амплитуды колебаний одинаковы ($A_1 = A_2$), получаем:

$\frac{a_{1max}}{a_{2max}} = \frac{A_1 \omega_1^2}{A_2 \omega_2^2} = \frac{A \omega_1^2}{A \omega_2^2} = \left(\frac{\omega_1}{\omega_2}\right)^2$

Теперь подставим числовые значения циклических частот:

$\frac{a_{1max}}{a_{2max}} = \left(\frac{36}{9}\right)^2 = 4^2 = 16$

Таким образом, модуль максимального ускорения первого шарика в 16 раз больше модуля максимального ускорения второго шарика.

Ответ: Модули максимальных ускорений шариков отличаются в 16 раз.