Номер 26, страница 15 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

26. *Два маленьких груза совершают гармонические колебания. Модуль максимальной скорости первого груза $v_{1\text{max}} = 4 \frac{\text{M}}{\text{c}}$. Определите модуль максимальной скорости второго груза, если период его колебаний в $n = 3$ раза, а амплитуда колебаний в $k = 6$ раз больше соответственно периода и амплитуды колебаний первого груза.

Дано:

$v_{1max} = 4 \frac{м}{с}$

$n = \frac{T_2}{T_1} = 3$

$k = \frac{A_2}{A_1} = 6$

Найти:

$v_{2max}$ - ?

Решение:

Максимальная скорость тела при гармонических колебаниях связана с амплитудой $A$ и циклической частотой $\omega$ соотношением:

$v_{max} = A \cdot \omega$

Циклическая частота $\omega$, в свою очередь, связана с периодом колебаний $T$ следующей формулой:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставив выражение для циклической частоты в формулу для максимальной скорости, получим:

$v_{max} = A \cdot \frac{2\pi}{T}$

Запишем это выражение для первого и второго грузов:

$v_{1max} = A_1 \frac{2\pi}{T_1}$

$v_{2max} = A_2 \frac{2\pi}{T_2}$

По условию задачи, период колебаний второго груза в $n$ раз больше периода первого ($T_2 = n \cdot T_1$), а амплитуда в $k$ раз больше амплитуды первого ($A_2 = k \cdot A_1$). Подставим эти соотношения в формулу для максимальной скорости второго груза:

$v_{2max} = (k \cdot A_1) \frac{2\pi}{(n \cdot T_1)} = \frac{k}{n} \cdot \left(A_1 \frac{2\pi}{T_1}\right)$

Выражение в скобках является максимальной скоростью первого груза $v_{1max}$. Таким образом, получаем:

$v_{2max} = \frac{k}{n} \cdot v_{1max}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{2max} = \frac{6}{3} \cdot 4 \frac{м}{с} = 2 \cdot 4 \frac{м}{с} = 8 \frac{м}{с}$

Ответ: $8 \frac{м}{с}$.