Номер 32, страница 17 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

32. Груз, подвешенный на нити, совершает гармонические колебания с амплитудой $A$. На рисунке 14 показаны положение и скорость груза в некоторый момент времени $t_0$. Определите:

а) момент времени $t_0$ и изменение фазы колебаний за одну секунду, если график на рисунке 15 характеризует зависимость координаты $x$ груза от времени $t$;

б) *момент времени $t_0$, если график на рисунке 15 характеризует зависимость проекции ускорения $a_x$ груза на ось $Ox$ от времени $t$;

в) *момент времени $t_0$, если график на рисунке 15 характеризует зависимость проекции скорости $v_x$ груза на ось $Ox$ от времени $t$.

Рис. 14

Рис. 15

Дано:

Груз совершает гармонические колебания с амплитудой $A$.
В момент времени $t_0$ положение груза $x(t_0) = -0,5A$.
В момент времени $t_0$ проекция скорости груза на ось $Ox$ положительна, $v_x(t_0) > 0$.
Из графика на рис. 15 следует, что период колебаний $T = 12$ с.

Перевод в систему СИ не требуется, так как все величины даны в стандартных единицах (секунды).

Найти:

а) $t_0$ и изменение фазы $\Delta\Phi$ за 1 с, если на рис. 15 показана зависимость $x(t)$.
б) $t_0$, если на рис. 15 показана зависимость $a_x(t)$.
в) $t_0$, если на рис. 15 показана зависимость $v_x(t)$.

Решение:

Сначала определим общие параметры колебаний по графику на рисунке 15. График представляет собой синусоидальную функцию. Период колебаний $T$ — это время одного полного колебания. Из графика видно, что один полный цикл завершается за 12 с.

$T = 12$ с.

Циклическая частота колебаний $\omega$ связана с периодом соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ рад/с.

График на рисунке 15 описывается функцией вида $f(t) = C \cdot \sin(\omega t) = C \cdot \sin(\frac{\pi}{6}t)$, где $C$ — амплитудное значение соответствующей величины. В момент времени $t_0$ система находится в состоянии: $x(t_0) = -0,5A$ и $v_x(t_0) > 0$ (груз движется к положению равновесия).

а)

Пусть график на рисунке 15 характеризует зависимость координаты $x$ от времени $t$. Тогда уравнение колебаний имеет вид:

$x(t) = A \sin(\frac{\pi}{6}t)$.

Проекция скорости $v_x$ является производной от координаты по времени:

$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\frac{\pi}{6}t) = A\frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi}{6}t)$.

Используем условия для момента времени $t_0$:

1) $x(t_0) = -0,5A \implies A \sin(\frac{\pi}{6}t_0) = -0,5A \implies \sin(\frac{\pi}{6}t_0) = -0,5$.

2) $v_x(t_0) > 0 \implies A\frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi}{6}t_0) > 0 \implies \cos(\frac{\pi}{6}t_0) > 0$.

Из первого условия следует, что фаза $\frac{\pi}{6}t_0$ находится в III или IV четверти. Из второго условия — в I или IV четверти. Следовательно, искомый момент времени соответствует фазе в IV четверти.

$\frac{\pi}{6}t_0 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.

Отсюда $t_0 = -1 + 12k$.

Найдём наименьшее положительное значение $t_0$, взяв $k=1$:

$t_0 = -1 + 12 \cdot 1 = 11$ с.

Изменение фазы колебаний $\Delta\Phi$ за промежуток времени $\Delta t = 1$ с равно:

$\Delta\Phi = \omega \Delta t = \frac{\pi}{6} \cdot 1 = \frac{\pi}{6}$ рад.

Ответ: $t_0 = 11$ с; изменение фазы за 1 с равно $\frac{\pi}{6}$ рад.

б)

Пусть график на рисунке 15 характеризует зависимость проекции ускорения $a_x$ от времени $t$. Тогда:

$a_x(t) = a_{max} \sin(\frac{\pi}{6}t)$, где $a_{max} = A\omega^2$.

Связь между ускорением и координатой при гармонических колебаниях: $a_x(t) = -\omega^2 x(t)$. Отсюда:

$x(t) = -\frac{a_x(t)}{\omega^2} = -\frac{A\omega^2 \sin(\frac{\pi}{6}t)}{\omega^2} = -A \sin(\frac{\pi}{6}t)$.

Проекция скорости $v_x(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \cos(\frac{\pi}{6}t)$.

Используем условия для момента времени $t_0$:

1) $x(t_0) = -0,5A \implies -A \sin(\frac{\pi}{6}t_0) = -0,5A \implies \sin(\frac{\pi}{6}t_0) = 0,5$.

2) $v_x(t_0) > 0 \implies -A\omega \cos(\frac{\pi}{6}t_0) > 0 \implies \cos(\frac{\pi}{6}t_0) < 0$.

Из первого условия следует, что фаза $\frac{\pi}{6}t_0$ находится в I или II четверти. Из второго условия — во II или III четверти. Следовательно, искомый момент времени соответствует фазе во II четверти.

$\frac{\pi}{6}t_0 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.

Отсюда $t_0 = 5 + 12k$.

Наименьшее положительное значение $t_0$ (при $k=0$): $t_0 = 5$ с.

Ответ: $t_0 = 5$ с.

в)

Пусть график на рисунке 15 характеризует зависимость проекции скорости $v_x$ от времени $t$. Тогда:

$v_x(t) = v_{max} \sin(\frac{\pi}{6}t)$, где $v_{max} = A\omega$.

Координату $x(t)$ можно найти, интегрируя скорость по времени: $x(t) = \int v_x(t) dt$.

$x(t) = \int A\omega \sin(\frac{\pi}{6}t) dt = -A \cos(\frac{\pi}{6}t)$. (Постоянная интегрирования равна нулю, так как колебания происходят около $x=0$).

Используем условия для момента времени $t_0$:

1) $x(t_0) = -0,5A \implies -A \cos(\frac{\pi}{6}t_0) = -0,5A \implies \cos(\frac{\pi}{6}t_0) = 0,5$.

2) $v_x(t_0) > 0 \implies A\omega \sin(\frac{\pi}{6}t_0) > 0 \implies \sin(\frac{\pi}{6}t_0) > 0$.

Из первого условия следует, что фаза $\frac{\pi}{6}t_0$ находится в I или IV четверти. Из второго условия — в I или II четверти. Следовательно, искомый момент времени соответствует фазе в I четверти.

$\frac{\pi}{6}t_0 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.

Отсюда $t_0 = 2 + 12k$.

Наименьшее положительное значение $t_0$ (при $k=0$): $t_0 = 2$ с.

Ответ: $t_0 = 2$ с.