Номер 37, страница 19 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

37. *

Определите амплитуду гармонических колебаний шарика, если его максимальная кинетическая энергия $(W_{\text{к}})_{\text{max}} = 0,1 \text{ Дж}$, а модуль максимальной равнодействующей сил, действующих на шарик, $F_{\text{max}} = 10 \text{ Н}$.

Дано:

$(W_к)_{\text{max}} = 0,1 \text{ Дж}$

$F_{\text{max}} = 10 \text{ Н}$

Найти:

$A$

Решение:

При гармонических колебаниях равнодействующая сила, действующая на тело (шарик), является возвращающей силой, которая пропорциональна смещению $x$ от положения равновесия: $F = -kx$, где $k$ — коэффициент жесткости (аналог жесткости пружины). Модуль этой силы максимален, когда смещение максимально, то есть равно амплитуде $A$.

$F_{\text{max}} = kA$

Максимальная кинетическая энергия достигается в момент прохождения телом положения равновесия. По закону сохранения энергии для колебательной системы, полная механическая энергия $W$ постоянна и равна сумме кинетической и потенциальной энергий. В крайних точках (при $x = \pm A$) кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная максимальна: $W = (W_п)_{\text{max}} = \frac{kA^2}{2}$. В положении равновесия ($x = 0$) потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая максимальна: $W = (W_к)_{\text{max}}$.

Следовательно, максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии:

$(W_к)_{\text{max}} = \frac{kA^2}{2}$

Мы получили систему из двух уравнений:

$F_{\text{max}} = kA$ (1)

$(W_к)_{\text{max}} = \frac{kA^2}{2}$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{(W_к)_{\text{max}}}{F_{\text{max}}} = \frac{\frac{kA^2}{2}}{kA}$

Сократив $k$ и $A$, получим:

$\frac{(W_к)_{\text{max}}}{F_{\text{max}}} = \frac{A}{2}$

Отсюда выразим амплитуду $A$:

$A = \frac{2 \cdot (W_к)_{\text{max}}}{F_{\text{max}}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$A = \frac{2 \cdot 0,1 \text{ Дж}}{10 \text{ Н}} = \frac{0,2}{10} \text{ м} = 0,02 \text{ м}$

Ответ: $A = 0,02 \text{ м}$.