Номер 38, страница 19 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

38. *

Зависимость координаты бруска массой $m = 500 \text{ г}$, совершающего свободные колебания вдоль оси $Ox$, описывается уравнением $x(t) = A\sin(Bt)$, где $A = 40 \text{ см}$, $B = 2\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите максимальную кинетическую энергию колебаний бруска.

Дано:

$m = 500 \text{ г}$

$x(t) = A\sin(Bt)$

$A = 40 \text{ см}$

$B = 2\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Перевод в систему СИ:

$m = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

$A = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$E_{k, \text{max}}$

Решение:

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

где $m$ - масса тела, а $v$ - его скорость. Максимальная кинетическая энергия будет в тот момент, когда скорость тела максимальна.

Зависимость координаты бруска от времени дана уравнением гармонических колебаний:

$x(t) = A\sin(Bt)$

Здесь $A$ - это амплитуда колебаний, а $B$ - это циклическая (угловая) частота, которую также обозначают как $\omega$.

Чтобы найти скорость $v(t)$, нужно взять производную от координаты $x(t)$ по времени $t$:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A\sin(Bt)) = A \cdot B \cdot \cos(Bt)$

Максимальное значение скорости $v_{\text{max}}$ достигается тогда, когда значение $\cos(Bt)$ равно 1. Таким образом, амплитуда скорости (максимальная скорость) равна:

$v_{\text{max}} = A \cdot B$

Теперь мы можем найти максимальную кинетическую энергию, подставив $v_{\text{max}}$ в формулу для энергии:

$E_{k, \text{max}} = \frac{mv_{\text{max}}^2}{2} = \frac{m(AB)^2}{2} = \frac{mA^2B^2}{2}$

Подставим числовые значения из условия, переведенные в систему СИ:

$E_{k, \text{max}} = \frac{0.5 \text{ кг} \cdot (0.4 \text{ м})^2 \cdot (2\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2}{2}$

$E_{k, \text{max}} = \frac{0.5 \cdot 0.16 \cdot 4\pi^2}{2} \text{ Дж}$

$E_{k, \text{max}} = \frac{0.32\pi^2}{2} \text{ Дж} = 0.16\pi^2 \text{ Дж}$

Для получения числового ответа, можно принять $\pi^2 \approx 9.87$:

$E_{k, \text{max}} \approx 0.16 \cdot 9.87 \approx 1.5792 \text{ Дж}$

Округлим до сотых:

$E_{k, \text{max}} \approx 1.58 \text{ Дж}$

Ответ: $E_{k, \text{max}} = 0.16\pi^2 \text{ Дж} \approx 1.58 \text{ Дж}$.